Kombinasyonel devreler: decoder, mux, full adder, PLA

Geçen sayfada kapıları gördün. Bu sayfada onlardan kurulan, her işlemcide bulunan dört yapı taşını öğreneceksin: decoder, multiplexer, full adder ve PLA. Hepsi kombinasyonel (combinational) devredir: çıkış sadece şu anki girişlere bağlıdır, hiçbir şey hatırlamaz. Hatırlayan devreler (latch, register) 4. haftanın konusu.

Vizede bu yapılardan kısa cevap gelir: “giriş 101 ise hangi çıkış 1?”, “32-to-1 mux kaç select ister?”, “full adder’ın 1+1+0 çıkışı?”, “4-bit toplayıcının carry’lerini yaz”. LC-3’te de hepsini göreceksin: register seçimi decoder ile, ALU girişi mux ile, toplama toplayıcı ile yapılır.

Decoder

$n$ girişli bir decoder’ın $2^n$ çıkışı vardır. Girişi ikilik bir sayı olarak okur ve o numaralı çıkışı 1, geri kalan hepsini 0 yapar.

2-to-4 decoder
A1 A0 | D0 D1 D2 D3
 0  0 |  1  0  0  0
 0  1 |  0  1  0  0
 1  0 |  0  0  1  0
 1  1 |  0  0  0  1

D0 = A1'A0'   D1 = A1'A0   D2 = A1A0'   D3 = A1A0

Her çıkış bir AND kapısıdır ve tam olarak bir minterm’i üretir. Bu yüzden:

İPUCU · Decoder + OR = her fonksiyon. Bir fonksiyonun minterm listesi $\Sigma m(1, 2, 4, 7)$ ise 3-to-8 decoder’ın D1, D2, D4, D7 çıkışlarını bir OR kapısına bağla. Bitti.

Nerede kullanılır? Komutun opcode’unu çözmek (hangi komut?), bellekte adres çözmek (hangi satır?), register dosyasında hangi register’a yazılacağını seçmek.

Multiplexer (mux)

Mux, $2^n$ veri girişinden birini seçip çıkışa geçirir. Hangisinin geçeceğine $n$ tane select hattı karar verir.

2-to-1 mux’un denklemi:

$Y = S'A + SB$

4-to-1 mux bir 2-to-4 decoder ile dört AND kapısı ve bir OR kapısıdır: decoder select’i çözer, seçilen AND kapısı kendi veri girişini geçirir.

4-to-1 mux, I0..I3 = 1, 0, 0, 1
S1 S0 = 11 → I3 → çıkış 1
S1 S0 = 01 → I1 → çıkış 0

Mux ile fonksiyon kurmak

$n+1$ değişkenli bir fonksiyonu $2^n$-to-1 mux ile kurabilirsin. İlk $n$ değişkeni select’e bağla. Tabloyu bu değişkenlere göre ikişer satırlık gruplara böl. Her grupta F, son değişkenin (C) cinsinden şu dört şeyden biridir: 0, 1, C, C’.

Örnek: $F(A,B,C) = \Sigma m(0, 3, 4, 5)$, select = AB.

Toplayıcılar

Half adder

İki biti toplar: $S = A \oplus B$, $C = AB$. Gelen carry’yi alamaz, bu yüzden sadece en sağ bitte işe yarar.

Full adder

Üç biti toplar: A, B ve sağdan gelen $C_{in}$. İki çıkışı var: toplamın sağ biti S ve sola giden $C_{out}$.

Tabloyu ezberleme, üç biti topla: 1+1+1 = 3 = 11 → Cout = 1, S = 1. Denklemler:

$S = A \oplus B \oplus C_{in} \qquad C_{out} = AB + AC_{in} + BC_{in}$

S, tek sayıda 1 olduğunda 1’dir (odd parity). Cout, en az iki giriş 1 olduğunda 1’dir (majority).

Ripple-carry adder

$n$ bitlik iki sayıyı toplamak için $n$ full adder yan yana konur. Her birinin $C_{out}$‘u solundakinin $C_{in}$‘ine bağlanır. En sağdakinin $C_{in}$‘i 0’dır. Carry sağdan sola “dalgalanarak” (ripple) ilerler.

Çözümlü örnek: 0111 + 0101

carry in:   1 1 1 0
            0 1 1 1    (7)
          + 0 1 0 1    (5)
          ---------
            1 1 0 0    (12), Cout = 0

bit0: 1+1+0 = 10 → S=0, c=1
bit1: 1+0+1 = 10 → S=0, c=1
bit2: 1+1+1 = 11 → S=1, c=1
bit3: 0+0+1 = 01 → S=1, c=0

Bu toplayıcı unsigned ve 2’s complement için aynı devredir. 2’s complement’te 0111 + 0101 = 1100 olduğu için (iki pozitif → negatif) overflow vardır; bu, 2. haftadaki kuralın donanımdaki karşılığı. Çıkarma için B’nin her biti NOT’lanır ve en sağ $C_{in}$ = 1 yapılır: $A + B' + 1 = A - B$.

PLA (programmable logic array)

PLA, “her fonksiyonu SOP olarak kur” fikrinin hazır bir donanımıdır. İki katmanı var:

1. AND dizisi (AND array): girişlerden ve tersinden çarpım terimleri üretir.
2. OR dizisi (OR array): istenen terimleri her çıkışın OR kapısına bağlar.

Bağlantılar “programlanır”: hangi AND kapısının hangi OR’a gideceği seçilir. Bir terim birden fazla çıkış tarafından paylaşılabilir.

Örnek: $F_1 = \Sigma m(0, 3)$, $F_2 = \Sigma m(3, 5, 6)$. Gereken farklı minterm’ler 0, 3, 5, 6. AND dizisinde 4 kapı yeter; m3’ün kapısı iki OR kapısına da bağlanır.

3 girişli tam bir PLA en fazla 8 farklı minterm üretir. $n$ girişte $2^n$.

Combinational ve sequential farkı

Sık yapılan hatalar