Transistörler, mantık kapıları ve Boole cebiri

Bilgisayarın en alt katı transistördür. Transistörlerden kapılar, kapılardan devreler kurulur. Bu sayfada en alt iki seviyeyi (devices ve logic circuits) görüyorsun. Vizede bu kısımdan gelen soru tipleri belli: bir devre şemasını oku ve doğruluk tablosunu çıkar, tablodan ifade yaz, ifadeyi Boole cebiriyle sadeleştir, DeMorgan ile tersini al, sadece NAND ile yaz.

MOS transistör

MOS transistör bir elektrik anahtarıdır. Üç ucu var: gate (kapı), source ve drain. Gate’e uygulanan voltaj, diğer iki uç arasında akım geçip geçmeyeceğine karar verir.

CMOS (complementary MOS) devrelerde her kapıda iki tür birlikte kullanılır. p-tipleri çıkışı +V’ye (mantıksal 1) bağlar, n-tipleri GND’ye (mantıksal 0). Doğru tasarlanmış bir CMOS kapıda her girişte bu iki yoldan tam olarak biri açıktır.

CMOS NOT, NAND, NOR

NOT (inverter): bir p, bir n. Giriş 0 → p iletir → çıkış 1. Giriş 1 → n iletir → çıkış 0.

NAND: p-tipleri paralel (+V ile çıkış arası), n-tipleri seri (çıkış ile GND arası). Çıkışın 0 olması için seri yolun tamamı iletmeli, yani A = B = 1. Diğer her durumda paralel p’lerden biri çıkışı 1’e çeker.

NOR: tam tersi. p-tipleri seri, n-tipleri paralel. Çıkış ancak A = B = 0 iken 1.

AND ve OR kapıları CMOS’ta doğrudan kurulmaz. AND = NAND + NOT, OR = NOR + NOT. Bu yüzden devrelerde en “ucuz” kapılar NAND ve NOR’dur.

İPUCU · Seri = AND, paralel = OR. Seri bağlı anahtarlarda akımın geçmesi için hepsi kapalı olmalı (AND). Paralelde biri yeter (OR). NAND’ın n-tipleri seri olduğu için “A AND B ise GND’ye bağlan” der.

Mantık kapıları

Şemalarda: düz arkalı D şekli AND, kavisli arkalı sivri uçlu şekil OR, ucunda küçük daire (bubble) olan her şey o kapının tersi (NAND, NOR), daire ile biten üçgen NOT. XOR, OR şeklinin arkasında ikinci bir kavis taşır.

Gösterim: $A'$ (ya da $\overline{A}$) = NOT A, yan yana $AB$ = AND, $+$ = OR, $\oplus$ = XOR. İşlem önceliği: NOT > AND > OR.

Doğruluk tablosu → ifade

Minterm ve SOP

$n$ girişli bir fonksiyonun tablosu $2^n$ satırdır. Satırlar 0’dan $2^n - 1$‘e kadar numaralanır (ABC = 101 → satır 5).

Minterm, tek bir satırda 1 olan AND terimidir. Kural: bit 1 ise harfin kendisi, bit 0 ise tersi. $m_5 = AB'C$.

Fonksiyonun kanonik SOP (sum of products) biçimi: F = 1 olan her satırın minterm’ini yaz, hepsini OR’la. Kısa yazımı $\Sigma m(\ldots)$.

A B C | F
0 0 0 | 1   ← m0 = A'B'C'
0 0 1 | 1   ← m1 = A'B'C
0 1 0 | 0
0 1 1 | 0
1 0 0 | 0
1 0 1 | 1   ← m5 = AB'C
1 1 0 | 0
1 1 1 | 0

F = Σm(0,1,5) = A'B'C' + A'B'C + AB'C

Bu ifade doğrudan devreye dönüşür: her terim için bir AND kapısı, sonunda tek OR kapısı. Bu şu demek: her doğruluk tablosu AND, OR ve NOT ile kurulabilir. Bu özelliğe logical completeness denir.

Maxterm ve ΠM

Maxterm, tek bir satırda 0 olan OR terimidir. Kural minterm’in tersi: bit 0 → harfin kendisi, bit 1 → tersi. $M_5 = (A' + B + C')$.

$F = \Sigma m(\text{F}=1 \text{ satırları}) = \Pi M(\text{F}=0 \text{ satırları}) \qquad F' = \Sigma m(\text{F}=0 \text{ satırları})$

Yukarıdaki örnekte $F = \Pi M(2,3,4,6,7)$ ve $F' = \Sigma m(2,3,4,6,7)$.

TUZAK · minterm ve maxterm harf kuralını karıştırmak. m5 = 101 → $AB'C$ (1 ise düz). M5 = 101 → $(A' + B + C')$ (1 ise ters). Ters işlem, ters kural.

Boole cebiri

Bir de çok kullanılan: $X + X'Y = X + Y$.

Sadeleştirme tarifi

1. Sadece tek değişkende farklı iki minterm bul.
2. Ortak çarpanı dışarı al: $AB'C' + AB'C = AB'(C' + C)$.
3. $C' + C = 1$, kalan $AB'$.
4. Bir terimi iki eşleşmede kullanman gerekirse önce kopyala ($X = X + X$).
5. Sonucu tabloyla kontrol et: her terim hangi satırları kapsıyor?

Çözümlü örnek: yukarıdaki $F = A'B'C' + A'B'C + AB'C$.

F = A'B'C' + A'B'C + AB'C
  = A'B'C' + A'B'C + A'B'C + AB'C      idempotent: A'B'C kopyalandı
  = A'B'(C' + C) + B'C(A' + A)         distributive
  = A'B'·1 + B'C·1                     complement
  = A'B' + B'C                         identity
kontrol: A'B' → 000, 001 (m0, m1) · B'C → 001, 101 (m1, m5) ✓

DeMorgan ile tersini almak

$F = A'B' + B'C$ ise:

F' = (A'B' + B'C)'
   = (A'B')' · (B'C)'          DeMorgan (toplamın tersi)
   = (A + B) · (B + C')        DeMorgan (çarpımın tersi), involution
   = AB + AC' + BB + BC'       distributive
   = AB + AC' + B + BC'        idempotent BB = B
   = B + AC'                   absorption: B + AB = B, B + BC' = B

Kontrol: $F'$ = 1 olan satırlar: B = 1 (2, 3, 6, 7) ve AC’ (4, 6). Birleşim {2, 3, 4, 6, 7}. F’nin {0, 1, 5} kümesiyle birleşince {0..7}, ortak eleman yok.

Devre okuma

Sınavda şema verilir, şunu istenir: her kapıyı tanı, ara çıkışlara isim ver, tabloyu doldur, ifadeyi yaz, sadeleştir, “hangi işlem?” sorusunu cevapla.

Örnek: Gate 1 NOR (girişler A, B), çıkışı X. Gate 2 AND (girişler B, C), çıkışı Y. Gate 3 OR (girişler X, Y), çıkışı F.

A B C | X=(A+B)' | Y=BC | F=X+Y
0 0 0 |    1     |  0   |  1
0 0 1 |    1     |  0   |  1
0 1 0 |    0     |  0   |  0
0 1 1 |    0     |  1   |  1
1 0 0 |    0     |  0   |  0
1 0 1 |    0     |  0   |  0
1 1 0 |    0     |  0   |  0
1 1 1 |    0     |  1   |  1

F = (A+B)' + BC = A'B' + BC = Σm(0, 1, 3, 7)

Kalıpları tanı: $A'B + AB'$ XOR, $A'B' + AB$ XNOR, $S'A + SB$ 2-to-1 mux, $AB + AC + BC$ majority.

Sadece NAND (ya da NOR) ile

NAND tek başına tamdır (logically complete): AND, OR ve NOT’un hepsi NAND ile yazılır.

Tarif: SOP ifadeyi yaz, iki kere tersle, içteki DeMorgan’ı uygula.

$F = AB + CD = ((AB + CD)')' = ((AB)' \cdot (CD)')'$

Sonuç: AND-OR devresindeki her kapıyı NAND yap, devre aynı kalır. NOR için aynı fikir POS (product of sums) ifadeyle çalışır.

Sık yapılan hatalar