PHY1002 · 10. hafta · Capacitance and Dielectrics Ch 26, An Atomic Description of Dielectrics.

Dielektriklerin atomik açıklaması ve vize tekrarı

Dielektriğin içinde alanın neden κ kat azaldığını polarizasyon ve indüklenmiş yüzey yükü ile açıklar, ardından 1-9. haftaların formüllerini tek tabloda toplayıp karışık vize soruları verir.

polarizationpolar moleculenonpolar moleculeinduced dipoleinduced surface chargefree chargebound chargedielectric constantdielectric breakdown

Geçen hafta dielektriğin kapasitansı κ kat artırdığını kural olarak kullandın. Bu hafta nedenini molekül düzeyinde görüyorsun: madde kutuplanıyor, yüzeylerinde indüklenmiş yük beliriyor ve bu yük plakaların alanını kısmen yok ediyor. Konu kısa ve kavramsal; sınavda genellikle bir kavram sorusu ve bir indüklenmiş yük hesabı olarak gelir. Sayfanın ikinci yarısı vize tekrarı: 1-9. haftaların formülleri tek tabloda ve karışık sorular.

Altın kurallar:

Dielektrik iletken değil. Yükler maddenin içinde serbestçe akmaz; sadece her molekülün içinde biraz kayar.
Kutuplanma (polarization) yüzeyde yük bırakır. İçeride komşu dipollerin yükleri birbirini götürür, yüzeyler yüklü kalır.
İndüklenmiş yük plakadaki yüke zıt işaretli ve ondan küçük: $\sigma_{ind} = \sigma(1 - 1/\kappa)$ .
Net alan $E = E_0/\kappa$ . κ ne kadar büyükse madde o kadar kolay kutuplanır.

Polar ve apolar moleküller

Moleküller elektrik alana iki farklı şekilde tepki verir.

Polar molekül (polar molecule). Yük merkezleri alan yokken bile ayrık; kalıcı bir dipol momenti var. Su ( $p \approx 6.2\times10^{-30}$ C·m) en bilinen örnek: oksijen tarafı biraz negatif, hidrojen tarafı biraz pozitif. Alan yokken ısıl hareket yüzünden dipoller rastgele yönlenir ve ortalamaları sıfırdır. Alan uygulanınca 9. haftadaki $\tau = pE\sin\theta$ torku onları alan yönüne çevirmeye çalışır. Isıl hareket buna karşı koyar, bu yüzden hizalanma kısmi olur.

Apolar molekül (nonpolar molecule). $\text{O}_2$ , $\text{N}_2$ , $\text{CO}_2$ gibi simetrik moleküllerin alan yokken dipol momenti yok. Alan uygulanınca pozitif çekirdekler alan yönünde, elektron bulutu ters yönde hafifçe itilir. Yük merkezleri ayrılır ve indüklenmiş dipol (induced dipole) oluşur. Dipol momenti alanla aynı yönde ve küçük alanlarda alanla orantılıdır.

İPUCU · Tarak ve kâğıt. Yüklü bir tarağın nötr kâğıt parçalarını çekmesi bu yüzden. Tarağın alanı kâğıtta dipoller indükler. Tarağa yakın uçta zıt işaretli yük, uzak uçta aynı işaretli yük olur. Alan uzaklıkla azaldığı için yakın uçtaki çekim baskın gelir. Düzgün olmayan alan nötr cisme net kuvvet uygulayabilir.

İndüklenmiş yüzey yükü

Şimdi plakaları $+\sigma$ ve $-\sigma$ ile yüklü bir kondansatörün arasına bir dielektrik levha koy. Plakaların ürettiği alan $E_0 = \sigma/\varepsilon_0$ , pozitif plakadan negatif plakaya doğru.

Her molekül bu alanda dipol olur (ya da mevcut dipolü hizalanır). Levhanın içini düşün: bir molekülün pozitif ucu, yanındakinin negatif ucuna değiyor. İç hacimde bunlar birbirini götürür. Ama iki yüzeyde götürecek komşu yok:

Pozitif plakaya bakan yüzde dipollerin negatif uçları kalır: $-\sigma_{ind}$ .
Negatif plakaya bakan yüzde pozitif uçlar kalır: $+\sigma_{ind}$ .

Bu iki yüzey yükü kendi küçük kondansatörlerini oluşturur ve ters yönde bir alan üretir: $E_{ind} = \sigma_{ind}/\varepsilon_0$ . Dielektrik içindeki net alan:

$E = E_0 - E_{ind} = \frac{\sigma - \sigma_{ind}}{\varepsilon_0}$

Deney $E = E_0/\kappa$ dediğine göre:

$\frac{\sigma}{\kappa\varepsilon_0} = \frac{\sigma - \sigma_{ind}}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad \sigma_{ind} = \sigma\left(1 - \frac{1}{\kappa}\right)$

Plakadaki yüke serbest yük (free charge), dielektrik yüzeyindeki yüke bağlı yük (bound charge) denir. Bağlı yük maddeden çıkıp gidemez; molekülüne bağlıdır.

κ	$\sigma_{ind}/\sigma$	Yorum
1 (boşluk)	0	kutuplanma yok
2	0.50	alan yarıya iner
4	0.75	alan dörtte bire iner
çok büyük	1’e yaklaşır	iletken gibi: içeride alan sıfıra gider

Son satır güzel bir sınır: iletkende yükler serbestçe akıp yüzey yükünü tam olarak eşitler ve içerideki alan tam sıfır olur (4. haftadaki elektrostatik denge). Dielektrik bunun yarım kalmış hali.

Örnek 1. Plakalarda $\sigma = 6.0\ \mu\text{C/m}^2$ , $\kappa = 3.0$ .

E0 = σ/ε0 = 6.0e-6 / 8.85e-12 = 6.78e5 N/C
E  = E0/κ = 2.26e5 N/C
σ_ind = σ(1 − 1/κ) = 6.0 (1 − 1/3) = 4.0 μC/m²
kontrol: (σ − σ_ind)/ε0 = 2.0e-6 / 8.85e-12 = 2.26e5 N/C   (aynı)

Örnek 2. Yalıtılmış düzlem kondansatör: $A = 0.020\ \text{m}^2$ , $d = 1.0\ \text{mm}$ , $Q = 4.0\ \text{nC}$ . Araya $\kappa = 2.0$ levha konuyor.

C0 = ε0 A/d = 177 pF        V0 = Q/C0 = 22.6 V
C  = κ C0 = 354 pF           V  = Q/C  = 11.3 V   (Q sabit, V yarıya indi)
Q_ind = Q(1 − 1/κ) = 2.0 nC  (her yüzde)

Gerilim neden düştü? Aynı serbest yük var ama net alan yarıya indi, $\Delta V = Ed$ de yarıya indi. $C = Q/\Delta V$ bu yüzden iki katına çıktı. 9. haftadaki $C = \kappa C_0$ kuralının mikroskobik açıklaması bu.

TUZAK · Dielektrik delinmesi. Alan çok büyürse elektronlar moleküllerinden koparılır ve madde iletken olur (dielectric breakdown). Bu sınır dielektrik dayanımdır. Kutuplanma ile delinmeyi karıştırma: kutuplanmada yük molekülde kalır, delinmede akım akar.

Vize tekrarı: 1-9. haftalar

Vize genellikle 9. haftaya kadar olan konulardan gelir. Aşağıdaki tablo sınav sabahı bakılacak her şey.

Hafta	Konu	Temel formüller	En sık tuzak
1	Coulomb, nokta yük alanı	$F = k\lvert q_1q_2\rvert/r^2$ , $\vec E = k q\hat r/r^2$	Vektörel toplama yerine büyüklükleri toplamak
2	Sürekli dağılım, düzgün alanda parçacık	halka ekseni $E = kQx/(x^2+a^2)^{3/2}$ , $a = qE/m$	Simetriden sıfırlanan bileşeni atlamak
3	Akı, Gauss	$\Phi_E = q_{in}/\varepsilon_0$ ; küre içi $kQr/R^3$ ; çizgi $2k\lambda/r$ ; düzlem $\sigma/(2\varepsilon_0)$	Dışarıdaki yükü saymak
4	İletkenler	içeride $E = 0$ , yüzeyde $E = \sigma/\varepsilon_0$	İletken ve yalıtkan küreyi karıştırmak
5	Potansiyel farkı	$\Delta V = -\int\vec E\cdot d\vec s$ , düzgün alan $\Delta V = -Ed$	İşaret: alan yönünde V azalır
6	Nokta yük potansiyeli	$V = kq/r$ , $U = kq_1q_2/r$ , $E_x = -\partial V/\partial x$	V skaler, işaretli topla
7	Sürekli dağılım, iletken	halka ekseni $V = kQ/\sqrt{x^2+a^2}$ ; iletken eş potansiyel	İletken içinde V = 0 sanmak (sabit, sıfır değil)
8	Kapasitans	$C = Q/\Delta V$ , $\varepsilon_0A/d$ , seri/paralel	Seri ve paralel formülleri ters kullanmak
9	Enerji, dielektrik, dipol	$U = \tfrac12CV^2$ , $C = \kappa C_0$ , $\tau = pE\sin\theta$	Batarya bağlı/sökük durumunu karıştırmak

Soru çözme stratejisi

Önce ne isteniyor? Kuvvet ve alan vektör, potansiyel ve enerji skaler. Vektörse bileşenlere ayır; skalerse işaretli topla.
Simetri var mı? Küre, uzun çizgi, sonsuz düzlem: Gauss yasası. Halka, disk, çubuk ekseni: integral formülü.
Birimleri baştan çevir. cm, mm, nC, μC hepsini SI’ya çevirip sonra hesapla.
Büyüklük kontrolü. Mikrocoulomb yükler arasında binlerce newton kuvvet ya da bir elektron için ışık hızından büyük hız çıktıysa geri dön.
Çeldiricilere dikkat. Yanlış şıklar tipik hatalardan üretilir: $r$ yerine $r^2$ , ½’yi unutmak, seri ve paralel formülünü ters kullanmak, birim çevirmemek. Bulduğun sayı şıklarda var diye doğru sanma; o hatayı yapmadığını bir kez kontrol et.

Karışık bir tekrar örneği

Örnek 3. Bir elektron, plakaları arasında $\Delta V = 500\ \text{V}$ olan ve plaka aralığı $d = 2.0\ \text{cm}$ olan bir düzlem kondansatörün negatif plakasından durgun halden bırakılıyor. Alan, elektronun ivmesi ve pozitif plakaya vardığındaki hızı nedir?

Alan (düzgün):     E = ΔV/d = 500 / 0.020 = 2.5e4 V/m
Kuvvet:            F = eE = (1.60e-19)(2.5e4) = 4.0e-15 N
İvme:              a = F/me = 4.0e-15 / 9.11e-31 = 4.4e15 m/s²
Hız (enerjiyle):   ½ me v² = eΔV  →  v = √(2eΔV/me) = 1.33e7 m/s
kontrol (kinematik): v² = 2ad = 2(4.4e15)(0.020) → v = 1.33e7 m/s

Aynı soruyu iki yoldan (2. hafta kinematiği ve 5. hafta enerji korunumu) çözmek, vizede cevabını kontrol etmenin en güvenilir yolu. Hız ışık hızının yüzde 4’ü civarında; göreli düzeltme gerekmez.

Sık yapılan hatalar

Yanlış düşünce	Doğrusu
Dielektrik içinde yük akar	Dielektrik yalıtkan; yük molekülde kayar, akmaz
Dielektrik alanı artırır	Alanı $\kappa$ kat azaltır: $E = E_0/\kappa$
$\sigma_{ind} = \sigma/\kappa$	$\sigma/\kappa$ net yük; $\sigma_{ind} = \sigma(1 - 1/\kappa)$
Apolar moleküller alana tepki vermez	İndüklenmiş dipol oluşur
İndüklenmiş dipol alana zıt yönde	Dipol momenti alan yönünde; yüzey yükü alanı zayıflatır
Nötr cisme hiç kuvvet etkimez	Düzgün olmayan alanda indüklenmiş dipol net kuvvet görür
Gauss’ta dışarıdaki yük de akıya katılır	Sadece içerideki net yük
$E_x = dV/dx$	Eksi işaretli: $E_x = -dV/dx$

Kendini test et

Sınavdaki gibi İngilizce sorular. Önce kâğıt kalemle çöz, sonra cevabı aç.

Soru 1kolay

A parallel-plate capacitor has free surface charge density $4.0\ \mu\text{C/m}^2$ on its plates and is completely filled with a dielectric of $\kappa = 4.0$ . What is the magnitude of the induced surface charge density on the dielectric faces?

1.0 μC/m²
3.0 μC/m²
4.0 μC/m²
5.0 μC/m²
16 μC/m²

Cevabı göster

B) 3.0 μC/m²

$\sigma_{ind} = \sigma\left(1 - \dfrac{1}{\kappa}\right) = 4.0\left(1 - \dfrac14\right) = 3.0\ \mu\text{C/m}^2$ .
1.0 μC/m² net yük ( $\sigma/\kappa$ ); indüklenmiş yük değil, plakadaki yük ile indüklenmiş yükün farkı.
İndüklenmiş yük serbest yükten her zaman küçüktür; 16 olamaz.

Soru 2orta

The plates of an isolated parallel-plate capacitor carry free surface charge density $8.0\ \mu\text{C/m}^2$ . The gap is filled with a dielectric with $\kappa = 2.0$ . What is the electric field inside the dielectric?

2.26 × 10⁵ N/C
4.52 × 10⁵ N/C
9.04 × 10⁵ N/C
1.81 × 10⁶ N/C

Cevabı göster

B) 4.52 × 10⁵ N/C

Boşlukta olsaydı: $E_0 = \sigma/\varepsilon_0 = 8.0\times10^{-6}/8.85\times10^{-12} = 9.04\times10^{5}\ \text{N/C}$ .
Dielektrik içinde: $E = E_0/\kappa = 4.52\times10^{5}\ \text{N/C}$ . $1.81\times10^{6}$ çıkaran κ ile çarpmış. Dielektrik alanı azaltır, artırmaz.

Soru 3kolay

A nonpolar molecule is placed in a uniform external electric field. What happens?

Nothing; nonpolar molecules do not respond to fields.
It acquires an induced dipole moment pointing along the field.
It acquires an induced dipole moment pointing opposite to the field.
It gains a net charge.

Cevabı göster

B) It acquires an induced dipole moment pointing along the field.

Alan, pozitif çekirdeği alan yönünde, elektron bulutunu ters yönde hafifçe iter. Yük merkezleri ayrılır: indüklenmiş dipol (induced dipole).
Dipol momenti $-$ 'dan $+$ 'ya doğru tanımlandığı için alanla aynı yönde.
Molekülün toplam yükü sıfır kalır; yük kazanmaz.

Soru 4orta

Why is the electric field inside a dielectric slab between capacitor plates smaller than it would be in vacuum (same free charge)?

The dielectric conducts and cancels part of the charge on the plates.
Aligned dipoles create induced surface charges whose field opposes the applied field.
The dielectric absorbs electric field energy and converts it to heat.
The dielectric increases the plate separation.

Cevabı göster

B) Aligned dipoles create induced surface charges whose field opposes the applied field.

Dielektrik iletken değildir; yükler serbestçe akmaz, sadece moleküller kutuplanır.
Pozitif plakaya bakan yüzde negatif, negatif plakaya bakan yüzde pozitif indüklenmiş yük birikir.
Bu yüklerin alanı dış alana zıt yönde, net alan $E_0/\kappa$ 'ya iner.

Soru 5kolay

Point charges $+3.0\ \mu\text{C}$ and $-5.0\ \mu\text{C}$ are $15\ \text{cm}$ apart. What is the magnitude of the force between them, and is it attractive or repulsive?

0.90 N, attractive
6.0 N, repulsive
6.0 N, attractive
40 N, attractive
6.0 × 10⁴ N, attractive

Cevabı göster

C) 6.0 N, attractive

$F = k\dfrac{|q_1q_2|}{r^2} = (8.99\times10^{9})\dfrac{(3.0\times10^{-6})(5.0\times10^{-6})}{(0.15)^2} = 5.99\ \text{N} \approx 6.0\ \text{N}$ .
Zıt işaretli yükler çeker.
0.90 N, $r^2$ yerine $r$ ile bölmekten gelir.

Soru 6kolay

What is the magnitude of the electric field $3.0\ \text{cm}$ from a $2.0\ \text{nC}$ point charge?

599 N/C
2.0 × 10³ N/C
2.0 × 10⁴ N/C
6.0 × 10⁴ N/C
2.0 × 10⁷ N/C

Cevabı göster

C) 2.0 × 10⁴ N/C

$E = \dfrac{k|q|}{r^2} = \dfrac{(8.99\times10^{9})(2.0\times10^{-9})}{(0.030)^2} = \dfrac{17.98}{9.0\times10^{-4}} = 2.0\times10^{4}\ \text{N/C}$ .
599 N/C, $1/r$ kullanınca çıkar (o potansiyelin biçimi).

Soru 7orta

A closed surface encloses charges $+4.0\ \text{nC}$ and $-1.0\ \text{nC}$ . A $+2.0\ \text{nC}$ charge lies outside the surface. What is the net electric flux through the closed surface?

113 N·m²/C
339 N·m²/C
565 N·m²/C
791 N·m²/C
0

Cevabı göster

B) 339 N·m²/C

Gauss yasası: $\Phi_E = q_{in}/\varepsilon_0$ , sadece içerideki yük sayılır. $q_{in} = 4.0 - 1.0 = 3.0\ \text{nC}$ , $\Phi_E = 3.0\times10^{-9}/8.85\times10^{-12} = 339\ \text{N·m}^2/\text{C}$ .
565 çıkaran işaretleri yok sayıp 5.0 nC toplamış; 791 ise dışarıdaki yükü de katmış. Dışarıdaki yük akıyı değiştirmez; yüzeyin şekli de önemli değil.

Soru 8zor

A solid insulating sphere of radius $10\ \text{cm}$ carries a charge of $6.0\ \text{nC}$ distributed uniformly throughout its volume. What is the field magnitude at $r = 5.0\ \text{cm}$ from the center?

0
2.7 × 10³ N/C
5.4 × 10³ N/C
1.1 × 10⁴ N/C
2.2 × 10⁴ N/C

Cevabı göster

B) 2.7 × 10³ N/C

İçeride Gauss küresinin kapsadığı yük $q_{in} = Q(r/R)^3 = Q/8$ . $E = \dfrac{kQr}{R^3} = \dfrac{(8.99\times10^{9})(6.0\times10^{-9})(0.050)}{(0.10)^3} = 2.7\times10^{3}\ \text{N/C}$ . $2.2\times10^{4}$ tüm yükü noktasal sanmaktan ( $kQ/r^2$ ), 0 ise iletkenle karıştırmaktan gelir.

Soru 9orta

How much work must an external agent do to bring a $+2.0\ \mu\text{C}$ charge from infinity to a point $30\ \text{cm}$ from a fixed $+5.0\ \mu\text{C}$ charge (slowly, no kinetic energy change)?

−0.30 J
0.090 J
0.30 J
1.0 J
3.0 J

Cevabı göster

C) 0.30 J

$W_{\text{dış}} = \Delta U = \dfrac{kq_1q_2}{r} = \dfrac{(8.99\times10^{9})(2.0\times10^{-6})(5.0\times10^{-6})}{0.30} = 0.30\ \text{J}$ .
Aynı işaretli yükleri yaklaştırmak pozitif iş ister. $-0.30$ J, alanın yaptığı iştir.
1.0 J, $r^2$ ile bölmekten gelir.

Soru 10orta

An electron starts from rest and is accelerated through a potential difference of $500\ \text{V}$ . What is its final speed (in m/s)?

Cevabı göster

1.3 × 10⁷ m/s

Enerji korunumu: $\tfrac12 m_ev^2 = e\,\Delta V$ . $v = \sqrt{\dfrac{2e\Delta V}{m_e}} = \sqrt{\dfrac{2(1.60\times10^{-19})(500)}{9.11\times10^{-31}}} = \sqrt{1.76\times10^{14}} = 1.33\times10^{7}\ \text{m/s}$ .
2'yi unutursan $9.4\times10^{6}$ m/s bulursun.

Soru 11orta

In a region the electric potential is $V(x) = 3x^2 - 2x$ , with $V$ in volts and $x$ in meters. What is the $x$ -component of the electric field at $x = 1.5\ \text{m}$ (in V/m)?

Cevabı göster

−7.0 V/m

$E_x = -\dfrac{dV}{dx} = -(6x - 2)$ . $x = 1.5$ : $E_x = -(9.0 - 2) = -7.0\ \text{V/m}$ . Alan $-x$ yönünde.
Eksi işareti unutma. 3.75 V çıkaran $V$ 'nin kendisini hesaplamış.

Soru 12kolay

A $10\ \mu\text{F}$ and a $15\ \mu\text{F}$ capacitor are connected in series across a $50\ \text{V}$ source. What is the charge on the $10\ \mu\text{F}$ capacitor?

120 μC
300 μC
500 μC
750 μC
1250 μC

Cevabı göster

B) 300 μC

$C_{eq} = \dfrac{10\cdot15}{25} = 6.0\ \mu\text{F}$ , $Q = 6.0\cdot50 = 300\ \mu\text{C}$ .
Seride her kondansatör aynı yükü taşır: 300 μC.
500 μC, 10 μF'ye tüm 50 V'u uygulamaktan; 1250 μC paralel toplamdan ( $25\cdot50$ ) gelir.

Doğrulama: Tüm sayısal cevaplar node ile hesaplandı (verify/PHY1002/10.mjs): indüklenmiş yük σ_ind = σ(1 − 1/κ) ile bulunup net yükten alan yeniden hesaplanarak kontrol edildi; yalıtkan küre içindeki alan kapsanan yükün Simpson integraliyle, E = −dV/dx merkezi farklar sayısal türeviyle doğrulandı; diğer tekrar soruları doğrudan formülle hesaplandı.

Deftere not kartı

dielektrik içinde E = E0/κ (κ ≥ 1, alanı AZALTIR) polar molekül: kalıcı dipol, alan onu döndürür (hizalar) apolar molekül: alan indüklenmiş dipol yaratır, p alan yönünde kutuplanma → yüzeylerde indüklenmiş (bağlı) yük, iç hacimde net 0 σ_ind = σ (1 − 1/κ) her zaman σ'dan küçük net alan: E = (σ − σ_ind)/ε0 = σ/(κ ε0) dielektrik iletken DEĞİL: yük akmaz, sadece kayar TEKRAR: F = k|q1 q2|/r² E = k|q|/r² V = kq/r U = k q1 q2 / r Φ = q_in/ε0 yalıtkan küre içi E = kQr/R³ iletken içi E = 0 ΔV = −∫E·ds düzgün alan ΔV = −Ed Ex = −dV/dx ½mv² = |q|ΔV C = Q/ΔV düzlem ε0A/d seri: aynı Q, paralel: aynı V U = ½CV² u = ½ε0E² dipol τ = pE sinθ, U = −pE cosθ