Kondansatörde enerji, dielektrikler ve elektrik dipolü

Geçen hafta kondansatörün ne kadar yük tuttuğunu hesapladın. Bu hafta üç soruya cevap veriyorsun: kondansatörde ne kadar enerji var, arasına bir yalıtkan koyunca ne değişiyor ve elektrik dipolü düzgün bir alanda nasıl davranıyor. Sınavda en sık gelen kalıp “dielektrik eklendi, şu büyüklük ne oldu?” sorusudur. Cevap tamamen bataryanın bağlı olup olmamasına bağlıdır.

Altın kurallar:

1. $U = \tfrac12 C V^2 = \dfrac{Q^2}{2C} = \tfrac12 QV$. Üçü aynı şey; hangisinde sabit kalan büyüklük varsa onu kullan.
2. Dielektrik C’yi κ kat artırır: $C = \kappa C_0$.
3. Batarya sökükse Q sabit, bağlıysa V sabit. Diğer her şey buradan türetilir.
4. Düzgün alanda dipole net kuvvet sıfır, tork $pE\sin\theta$.
5. Dipolün enerjisi $U = -pE\cos\theta$: alana paralelken en düşük.

Kondansatörde depolanan enerji

Kondansatörü doldurmak iş ister. Plakalarda $q$ yükü varken gerilim $q/C$. Bir sonraki küçük $dq$ yükünü negatif plakadan pozitif plakaya taşımak için yapılan iş $dW = (q/C)\,dq$. Sıfırdan $Q$‘ya kadar topla:

$U = \int_0^Q \frac{q}{C}\,dq = \frac{Q^2}{2C}$

$Q = C\Delta V$ yerine yazınca diğer iki biçim çıkar:

$U = \frac{Q^2}{2C} = \frac12 Q\,\Delta V = \frac12 C(\Delta V)^2$

Neden $Q\Delta V$ değil de yarısı? Çünkü yük taşınırken gerilim sıfırdan $\Delta V$‘ye yavaş yavaş yükseldi. Ortalama gerilim $\Delta V/2$.

Örnek 1. $20\ \mu\text{F}$ bir kondansatör 50 V’a şarj ediliyor.

U = ½ C V² = ½ (20e-6)(50)² = ½ (20e-6)(2500) = 0.025 J = 25 mJ

Enerji yoğunluğu

Enerji nerede duruyor? Plakalar arasındaki elektrik alanda. Düzlem kondansatörde $C = \varepsilon_0A/d$ ve $\Delta V = Ed$ yazınca $U = \tfrac12\varepsilon_0E^2(Ad)$ çıkar. $Ad$ hacim olduğuna göre birim hacimdeki enerji:

$u_E = \frac12\varepsilon_0E^2 \qquad (\text{J/m}^3)$

Bu formül düzlem kondansatörden türetildi ama her elektrik alan için geçerli: alan varsa enerji var.

Örnek 2. $A = 0.010\ \text{m}^2$, $d = 2.0\ \text{mm}$, $\Delta V = 400\ \text{V}$. Enerjiyi iki yoldan bul.

C = ε0 A/d = (8.85e-12)(0.010)/(2.0e-3) = 44.3 pF
U = ½ C V² = ½ (44.3e-12)(400)² = 3.54e-6 J
E = V/d = 400/2.0e-3 = 2.0e5 V/m
u = ½ ε0 E² = ½ (8.85e-12)(2.0e5)² = 0.177 J/m³
U = u · A d = 0.177 · (0.010 · 2.0e-3) = 3.54e-6 J   (aynı)

TUZAK · Seri devrede tek kondansatörün enerjisi. Seri bağlı bir kondansatörün enerjisini bulurken kaynak gerilimini doğrudan $\tfrac12CV^2$‘ye koyma. O kondansatörün kendi gerilimini (ya da ortak $Q$‘yu) kullan: $U_i = Q^2/(2C_i)$.

Yük paylaşımında kayıp enerji

Şarjlı ve bataryadan sökülmüş bir kondansatör boş bir kondansatöre bağlanınca yük korunur, enerji korunmaz. Son enerji her zaman ilkinden küçüktür; aradaki fark tellerde ısı ve elektromanyetik ışıma olarak gider. Hesap: önce $V_{son} = Q_0/(C_1+C_2)$, sonra $U_f = \tfrac12(C_1+C_2)V_{son}^2$.

Dielektrikler

Dielektrik (dielectric), plakaların arasına konan yalıtkan madde: kâğıt, cam, plastik, yağ. Boşluğu tamamen doldurursa kapasitans dielektrik sabiti (dielectric constant) κ kadar artar:

$C = \kappa C_0, \qquad C = \kappa\frac{\varepsilon_0 A}{d}$

κ birimsiz ve her zaman 1’den büyük ya da eşit. Boşluk için tam 1, hava için 1.00059 (pratikte 1), kâğıt yaklaşık 3.7, su yaklaşık 80.

Dielektriğin üç faydası var:

1. Kapasitansı artırır.
2. Plakaları mekanik olarak ayrı tutar, çok küçük $d$ mümkün olur.
3. Dielektrik dayanım (dielectric strength) havadan yüksektir. Dielektrik dayanım, madde delinmeden (iletken olmadan) taşıyabileceği en büyük alan. Kondansatöre uygulanabilecek en büyük gerilim $\Delta V_{max} = E_{max}d$. Örneğin dayanımı $16\times10^{6}\ \text{V/m}$ olan $0.10\ \text{mm}$ kalınlıkta bir levha için $\Delta V_{max} = 1.6\ \text{kV}$. Havada bu değer $3\times10^{6}$ V/m civarında.

Batarya bağlı mı, sökük mü?

Bu tabloyu ezberle; sınav sorusunun yarısı bu.

Örnek 3. $C_0 = 50\ \text{pF}$, $\Delta V_0 = 100\ \text{V}$, sonra $\kappa = 4$ dielektrik tam dolduruyor. İki durumu karşılaştır.

Başlangıç:  Q0 = C0 V0 = 5.0 nC,  U0 = ½ C0 V0² = 0.25 μJ
C = 4 · 50 = 200 pF (iki durumda da)

Sökük (Q sabit):
  V = Q0/C = 5.0 nC / 200 pF = 25 V
  U = Q0²/(2C) = 0.0625 μJ = U0/4

Bağlı (V sabit):
  Q = C V0 = 200 pF · 100 V = 20 nC
  U = ½ C V0² = 1.0 μJ = 4 U0

İPUCU · Enerji neden azaldı? Sökük durumda dielektrik plakaların arasına çekilir. Alan levhaya iş yapar, bu iş depolanan enerjiden gelir. Bağlı durumda ise batarya ek yük basar ve fazladan enerji sağlar.

Kısmen dolu kondansatör

Dielektrik boşluğu tamamen doldurmuyorsa kondansatörü parçalara böl:

• Levha plakalara paralel, kalınlığın bir kısmını dolduruyor: aynı yük iki tabakadan geçer, seri bağlı iki kondansatör.
• Levha alanın bir kısmını, tam kalınlıkta dolduruyor: iki bölge aynı gerilimde, paralel bağlı iki kondansatör.

Her parçanın kapasitansını $\kappa\varepsilon_0A_i/d_i$ ile yaz, sonra geçen haftanın seri/paralel kurallarını uygula.

Düzgün alanda elektrik dipolü

Elektrik dipolü (electric dipole), aralarında $2a$ mesafe olan $+q$ ve $-q$ yükü. Dipol momenti (dipole moment):

$\vec p = q\,(2a)\,\hat u, \qquad p = 2aq \quad (\text{C·m})$

Yönü negatif yükten pozitif yüke doğrudur.

Kuvvet ve tork

Düzgün $\vec E$ alanında $+q$‘ya $q\vec E$, $-q$‘ya $-q\vec E$ etkir. Toplam kuvvet sıfır, dipol öteleme hareketi yapmaz. Ama iki kuvvet farklı noktalara etkidiği için bir kuvvet çifti (couple) oluşur. Merkeze göre her kuvvetin moment kolu $a\sin\theta$:

$\tau = 2(qE)(a\sin\theta) = pE\sin\theta, \qquad \vec\tau = \vec p\times\vec E$

Tork dipolü alanın yönüne çevirmeye çalışır. $\theta = 0$‘da tork sıfır ve denge kararlı; $\theta = 180^\circ$‘de tork yine sıfır ama denge kararsız.

Potansiyel enerji

Dipolü döndürmek için yapılan iş potansiyel enerji olarak depolanır. Referans $\theta = 90^\circ$‘de $U = 0$ seçilir:

$U = -\vec p\cdot\vec E = -pE\cos\theta$

$\theta_1$‘den $\theta_2$‘ye döndürmek için dış etkenin yaptığı iş $W = U(\theta_2) - U(\theta_1)$. 0’dan 180°‘ye: $W = 2pE$.

Örnek 4. $\pm2.0\ \text{nC}$ yükler $3.0\ \text{mm}$ arayla, $E = 5.0\times10^{4}\ \text{N/C}$, dipol alanla $30^\circ$ açı yapıyor.

p = q · 2a = (2.0e-9)(3.0e-3) = 6.0e-12 C·m
τ = pE sinθ = (6.0e-12)(5.0e4)(0.500) = 1.5e-7 N·m
U = −pE cosθ = −(6.0e-12)(5.0e4)(0.866) = −2.6e-7 J
0° → 180° döndürme işi: 2pE = 6.0e-7 J

Su molekülü gibi kalıcı dipol momenti olan moleküllere polar molekül denir. Mikrodalga fırın, su moleküllerine bu torku sürekli yön değiştiren bir alanla uygular. Dielektriğin atomik açıklaması da tam bu dipol fikrine dayanıyor; onu 10. haftada göreceğiz.

Sık yapılan hatalar