Elektrik akımı, direnç ve Ohm yasası

Physics II’nin ikinci yarısı devrelerle geçer ve devrelerin hepsi bu haftanın dört formülüne dayanır: $I = dQ/dt$, $J = I/A$, $\Delta V = IR$ ve $R = \rho L/A$. Sınavda bu konudan çıkan sorular genelde kısa hesaplardır: bir telin direnci, bir yükten elektron sayısı, “tel gerilirse direnç kaç katına çıkar” tipi oran soruları. Bunlar kolay puan; kaybedilen puanların neredeyse hepsi birim çevirme ve çap/yarıçap karışıklığından gelir.

Altın kurallar:

1. Akım = birim zamanda geçen yük. $1\ \text{A} = 1\ \text{C/s}$. Dakikayı saniyeye çevir.
2. Akımın yönü pozitif yükün hareket yönüdür. Metalde elektronlar akıma ters yönde gider.
3. $R = \rho L/A$: uzunlukla doğru, kesit alanıyla ters orantılı. Alan çapın karesiyle büyür.
4. $\Delta V = IR$ her zaman bir tanım olarak yazılabilir; malzeme ancak $R$ sabitse “ohmik”tir.
5. mm² → m² için $10^{-6}$ ile çarp. $10^{-3}$ değil.

Elektrik akımı

Bir yüzeyden birim zamanda geçen net yüke elektrik akımı (electric current) denir:

$I_{\text{avg}} = \frac{\Delta Q}{\Delta t}, \qquad I = \frac{dQ}{dt}$

Birimi amper (ampere): $1\ \text{A} = 1\ \text{C/s}$. Akım skaler bir büyüklüktür ama bir yönü vardır: geleneksel olarak pozitif yüklerin akacağı yön. Bakır telde hareket eden yükler elektronlardır, bu yüzden elektronlar akım yönünün tersine gider. Sonuç değişmez: sağa giden elektron akımı ile sola giden pozitif yük akımı aynı akımdır.

Akım zamanla değişiyorsa iki yönlü bağlantı var:

• Yük fonksiyonu verildiyse türev al: $I(t) = dq/dt$.
• Akım fonksiyonu verildiyse integral al: $Q = \int I\,dt$.

TUZAK · ortalama mı anlık mı? ”$q(t)$ verildi, $t = 2$ s’deki akım nedir?” sorusunda $q(2)/2$ hesaplarsan ortalama akımı bulursun. Anlık akım türevdir. Soru “instantaneous” diyorsa türev al.

Kaç elektron?

Her elektron $e = 1.60 \times 10^{-19}$ C taşır. $Q$ yükü $N$ elektrondan oluşuyorsa:

$N = \frac{Q}{e} = \frac{I\,\Delta t}{e}$

Örnek. Bir telden 10 dakika boyunca 0.50 A akım geçiyor. Kaç elektron geçer?

Δt = 10 dk = 600 s
Q  = I Δt = 0.50 × 600 = 300 C
N  = Q / e = 300 / 1.60e-19 = 1.9 × 10^21 elektron

Örnek (değişken akım). Bir kondansatörün boşalma akımı $I(t) = 4.0\,e^{-t/2.0}$ A ($t$ saniye). Toplam ne kadar yük akar?

$Q = \int_0^{\infty} 4.0\,e^{-t/2.0}\,dt = 4.0 \times 2.0 = 8.0\ \text{C}$

$\int_0^\infty e^{-t/\tau}dt = \tau$ olduğunu bilmek bu tip soruyu tek satıra indirir. 14. haftada RC devrelerinde aynısını göreceksin.

Akım yoğunluğu ve sürüklenme

Akım yoğunluğu (current density) birim kesit alanından geçen akımdır:

$J = \frac{I}{A} \qquad [\text{A/m}^2]$

$J$ bir vektördür, yönü akımın yönüdür. Telin içinde bir elektrik alanı varsa yükler o alanın etkisiyle yavaşça sürüklenir (drift). Sürüklenme hızını ve bunun mikroskobik modelini 12. haftada ayrıntılı göreceksin. Bu hafta için önemli olan şu: iletkenin içinde akım varsa elektrik alanı sıfır değildir. “İletkende $E = 0$” kuralı sadece elektrostatik dengede (statik yükler) geçerli; akım taşıyan bir tel dengede değildir.

Çoğu metalde akım yoğunluğu alanla doğru orantılıdır:

$\vec{J} = \sigma \vec{E}$

$\sigma$ iletkenlik (conductivity), tersi $\rho = 1/\sigma$ özdirenç (resistivity). Bu ifadeye mikroskobik Ohm yasası denir.

Direnç ve Ohm yasası

Uzunluğu $L$, kesiti $A$ olan düzgün bir teli düşün. Uçları arasındaki potansiyel farkı $\Delta V$ ise içindeki alan $E = \Delta V/L$. Bunu $J = \sigma E$‘ye koy:

$\frac{I}{A} = \sigma \frac{\Delta V}{L} \quad\Rightarrow\quad \Delta V = \left(\frac{L}{\sigma A}\right) I = R\,I$

Parantezin içi telin direncidir (resistance):

$R = \frac{\Delta V}{I}, \qquad R = \rho\frac{L}{A}$

Birimi ohm: $1\ \Omega = 1\ \text{V/A}$. Özdirencin birimi $\Omega\cdot\text{m}$.

Ohm yasası (Ohm’s law) aslında bir doğa yasası değil, bazı malzemelerin davranışıdır: $R$, uygulanan gerilimden bağımsız sabit kalıyorsa malzeme ohmiktir (ohmic). $I$-$\Delta V$ grafiği orijinden geçen bir doğrudur, eğimi $1/R$. Diyot gibi elemanlar ohmik değildir (nonohmic): grafik eğridir. $R = \Delta V/I$ tanımını yine yazabilirsin ama bu oran gerilimle değişir.

Değerler mertebe olarak. Sınavda kullanacağın $\rho$ soruda verilir.

Örnek: tablodan ohmik mi değil mi?

İki elemanın ölçüm tablosu veriliyor. Eleman X: 2.0 V’ta 0.10 A, 4.0 V’ta 0.20 A, 6.0 V’ta 0.30 A. Eleman Y (bir ampul flamanı): 2.0 V’ta 0.20 A, 6.0 V’ta 0.40 A.

X:  2.0/0.10 = 20 Ω   4.0/0.20 = 20 Ω   6.0/0.30 = 20 Ω   → R sabit, ohmik
Y:  2.0/0.20 = 10 Ω   6.0/0.40 = 15 Ω                    → R artıyor, ohmik değil

Y’nin direnci gerilimle artıyor çünkü flaman ısınıyor (12. haftada sıcaklıkla direnç değişimini göreceksin). Grafikte X orijinden geçen bir doğru, Y ise eğimi giderek azalan bir eğri olur. Dikkat: $I$-$\Delta V$ grafiğinde eğim $1/R$‘dir, $R$ değil. Eğim azalıyorsa direnç artıyor demektir.

Örnek: telin direnci

Çapı 2.0 mm, uzunluğu 100 m olan alüminyum tel ($\rho = 2.8\times10^{-8}\ \Omega\cdot$m). Direnci nedir?

r = d/2 = 1.0 mm = 1.0e-3 m
A = π r² = π (1.0e-3)² = 3.14e-6 m²
R = ρ L / A = (2.8e-8)(100) / (3.14e-6) = 0.89 Ω

TUZAK · çap verildi. Soruda “diameter” yazıyorsa önce ikiye böl. Çapı yarıçap yerine koyarsan alan 4 kat büyük, direnç 4 kat küçük çıkar. Seçeneklerde bu yanlış cevap mutlaka vardır.

Oran soruları

Sınavın sevdiği tip: “Aynı malzemeden iki tel, biri ötekinin iki katı uzun ve iki katı kalın, dirençlerin oranı nedir?” Formülü oran olarak yaz, sayıları yerleştir:

$\frac{R_A}{R_B} = \frac{L_A}{L_B}\cdot\frac{A_B}{A_A} = \frac{L_A}{L_B}\cdot\left(\frac{d_B}{d_A}\right)^2$

Gerilen tel. Bir tel çekilerek uzatılınca malzeme kaybolmaz: hacim $V = LA$ sabit kalır. Uzunluk $n$ katına çıkarsa alan $1/n$‘ine iner:

$R' = \rho\frac{nL}{A/n} = n^2 R$

Uzunluk iki katına çıkarsa direnç dört katına çıkar.

İPUCU · birim değerli model. Oran sorusunda $\rho = L = A = 1$ al, değişikliği uygula, yeni $R$‘yi hesapla. Hesap makinesine gerek kalmaz, hata payı düşer.

Örnek: akım yoğunluğu ve alan

Kesiti 2.0 mm² olan bakır telden 5.0 A geçiyor. $J$ ve $E$ nedir?

A = 2.0 mm² = 2.0e-6 m²
J = I/A = 5.0 / 2.0e-6 = 2.5e6 A/m²
E = ρ J = (1.7e-8)(2.5e6) = 4.3e-2 V/m

Alan çok küçük: bakır çok iyi iletken olduğu için büyük bir akım için bile küçük bir alan yeter. Bu telin 20 m uzunluğundaki bir parçasının uçları arasındaki gerilim $EL = 0.85$ V olur.

Sık yapılan hatalar