Sürekli yük dağılımları, alan çizgileri ve düzgün alanda hareket

Geçen hafta yükleri nokta gibi düşündük. Gerçekte yük bir çubuğa, halkaya ya da plakaya yayılmış olur. Bu hafta iki şey öğreniyorsun: yayılmış yükün alanını integralle bulmak ve düzgün bir alanda parçacığın nasıl hareket ettiğini hesaplamak. İkincisi aslında Physics I’deki eğik atış, sadece $g$ yerine $qE/m$ var. Sınavda halka ve disk formülleri genellikle ya verilir ya da türetilmesi istenir; her iki durumda da hangi bileşenin neden sadeleştiğini bilmen gerekir.

Altın kurallar:

1. Küçük parçayı nokta yük say. $dE = k\,dq/r^2$ yaz, sonra topla (integral).
2. Önce simetri. Integral almadan önce hangi bileşenin sıfır olacağını belirle.
3. Uzaktan bakınca her şey nokta yüktür. Sonucunu $x \gg$ boyut limitinde $kQ/x^2$‘ye gidiyor mu diye kontrol et.
4. Düzgün alan = sabit ivme. $a = qE/m$, sonra bildiğin kinematik.

Yük yoğunlukları (charge densities)

Yük bir cisme düzgün yayılmışsa onu yoğunlukla anlatırız:

Genel tarif:

$\vec E = k_e \int \frac{dq}{r^2}\,\hat r$

Bu bir vektör integrali. Doğrudan büyüklükleri toplayamazsın; önce bileşenlere ayırırsın.

Çubuğun ekseni üzerindeki alan

Uzunluğu $L$, toplam yükü $Q$ olan bir çubuk düşün. $P$ noktası çubuğun uzantısında, yakın uçtan $d$ uzakta. Çubuk üzerindeki her parça $P$‘ye aynı doğrultuda alan verir, bu yüzden bileşene ayırmaya gerek yok.

$P$‘den $x$ uzaklıktaki parça: $dq = \lambda\,dx$, $dE = k\lambda\,dx/x^2$. $x$, $d$‘den $d + L$‘ye gider:

$E = k\lambda \int_d^{d+L} \frac{dx}{x^2} = k\lambda\left(\frac{1}{d} - \frac{1}{d + L}\right) = \frac{k_e Q}{d(d + L)}$

$d \gg L$ olursa $E \to kQ/d^2$: uzaktan nokta yük. Sağlama tuttu.

Örnek 1. $L = 0.40$ m, $Q = 6.0$ nC, $P$ yakın uçtan 0.10 m uzakta.

$E = \frac{(8.99 \times 10^{9})(6.0 \times 10^{-9})}{(0.10)(0.50)} = 1.08 \times 10^{3}\ \text{N/C}$

Bütün yükü çubuğun ortasına (0.30 m) koysaydın 599 N/C bulurdun. Çok farklı. Yakın parçalar $1/r^2$ yüzünden çok daha baskın.

Halkanın ekseni üzerindeki alan

Yarıçapı $a$, yükü $Q$ olan halka. $P$ eksen üzerinde, merkezden $x$ uzakta. Her $dq$ parçası $P$‘ye $r = \sqrt{x^2 + a^2}$ uzaklıkta.

Simetri: halkanın karşılıklı iki parçasının eksene dik bileşenleri birbirini götürür. Sadece eksen boyunca bileşen kalır:

$dE_x = k\frac{dq}{r^2}\cos\theta = k\frac{dq}{r^2}\cdot\frac{x}{r}$

$x$ ve $r$ bütün parçalar için aynı, integralin dışına çıkar:

$E_x = \frac{k_e x}{(x^2 + a^2)^{3/2}}\int dq = \frac{k_e Q x}{(x^2 + a^2)^{3/2}}$

Kontroller: $x = 0$‘da $E = 0$ (merkezde simetri). $x \gg a$ iken $E \to kQ/x^2$. Arada bir maksimum var: $dE/dx = 0$ çözülünce $x = a/\sqrt{2}$.

Örnek 2. $a = 0.10$ m, $Q = 5.0$ nC, $x = 0.20$ m.

x² + a² = 0.040 + 0.010 = 0.050 m²
(0.050)^(3/2) = 0.01118 m³
E = (8.99e9)(5.0e-9)(0.20) / 0.01118 = 804 N/C   (halkadan uzağa)

TUZAK · cos θ çarpanını unutmak. Halkayı $r$ uzaklıkta bir nokta yük sanıp $kQ/r^2$ yazarsan, Örnek 2’de 899 N/C bulursun. Dik bileşenler sadeleşiyor; kalan sadece $x/r$ kadar.

Diskin ekseni üzerindeki alan

Diski iç içe halkalara böl. Yarıçapı $r'$, kalınlığı $dr'$ olan halkanın yükü $dq = \sigma (2\pi r')\,dr'$. Her halkanın alanı, yukarıdaki formül. Hepsi aynı yönde, doğrudan toplanır:

$E = k\sigma \pi x\int_0^R \frac{2r'\,dr'}{(x^2 + r'^2)^{3/2}} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 + R^2}}\right)$

$R \to \infty$ (ya da diske çok yakın, $x \ll R$) limitinde parantez 1 olur:

$E_{\text{sonsuz levha}} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$

Mesafeye bağlı değil. Bu sonuç, kondansatörlerin neden düzgün alan ürettiğinin temeli.

Örnek 3. $R = 0.15$ m, $\sigma = 2.0\ \mu\text{C/m}^2$, $x = 0.05$ m.

σ/(2ε0) = 2.0e-6 / (1.77e-11) = 1.13e5 N/C
parantez: 1 − 0.05/√(0.0025 + 0.0225) = 1 − 0.316 = 0.684
E = 1.13e5 × 0.684 = 7.7e4 N/C

İPUCU · Hangi formül hangi durumda? Sınavda önce geometrini tanı: noktanın çubuğun uzantısında mı, dik açıortayında mı olduğuna bak. Halka ve diskte formüller sadece eksen üzerinde geçerli. Eksen dışındaki bir nokta sorulursa kapalı formül beklenmez; ya simetri ile bir bileşen sıfırlanır ya da soru nitel kalır.

Elektrik alan çizgileri (electric field lines)

Alanı resimle göstermenin yolu. Kurallar:

• Çizgi, her noktada alan vektörüne teğettir.
• Pozitif yükten başlar, negatif yükte (ya da sonsuzda) biter.
• Çizgi sayısı yük büyüklüğüyle orantılı: $2q$‘dan $q$‘nun iki katı çizgi çıkar.
• Çizgilerin sık olduğu yerde alan güçlü, seyrek olduğu yerde zayıf.
• İki çizgi asla kesişmez. Kesişseydi o noktada alanın iki yönü olurdu.

Dipolde (eşit ve zıt iki yük) çizgiler pozitiften çıkıp kavis yaparak negatife girer. Eşit iki pozitif yükte çizgiler birbirini iter, ortada alanın sıfır olduğu bir nokta kalır. Paralel iki zıt yüklü levhanın arasında çizgiler düz, paralel ve eşit aralıklıdır: düzgün alan.

İPUCU · Çizgiler yörünge değildir. Bir parçacık serbest bırakılınca ivmesi çizgiye teğettir, hızı değil. Çizgiler eğriyse parçacık çizgiyi takip etmez. Sadece düz çizgilerde ve durgun başlangıçta yörünge çizgi boyuncadır.

Düzgün alanda yüklü parçacık

Düzgün alanda kuvvet $\vec F = q\vec E$ sabittir. Newton’un ikinci yasası:

$\vec a = \frac{q\vec E}{m}$

Sabit ivme olduğu için Physics I’in kinematik denklemleri aynen çalışır. Elektron ve protonda yerçekimi kuvveti ihmal edilir: $eE$, $mg$‘den milyarlarca kat büyüktür.

Örnek 4 (durgun başlangıç). Bir proton $E = 5.0 \times 10^{3}$ N/C alanda durgun halden bırakılıyor. 2.0 cm yol alınca hızı?

a = eE/mp = (1.60e-19)(5.0e3)/(1.67e-27) = 4.79e11 m/s²
v² = 2 a Δx = 2(4.79e11)(0.020)  →  v = 1.38e5 m/s

Örnek 5 (plakalar arası sapma, deflection). Bir elektron yatay $v_0 = 3.0 \times 10^{6}$ m/s ile 10 cm uzunluğundaki iki plakanın arasına giriyor. Alan aşağı doğru, $E = 200$ N/C. Plakalardan çıkarken düşey sapma?

Elektron negatif, alan aşağı: kuvvet yukarı. Yatayda kuvvet yok, hız sabit. Bu, yukarı “düşen” bir eğik atış.

Yatay:  t = L / v0 = 0.10 / 3.0e6 = 3.33e-8 s
Düşey:  a = eE/me = (1.60e-19)(200)/(9.11e-31) = 3.51e13 m/s²  (yukarı)
        y = ½ a t² = ½ (3.51e13)(3.33e-8)² = 0.0195 m ≈ 1.95 cm  (yukarı)
        vy = a t = 1.17e6 m/s
Çıkış açısı: tan θ = vy / v0 = 0.390  →  θ = 21.3°

Yörünge parabol. Plakadan çıktıktan sonra alan yok, elektron bu açıyla düz gider. Eski tüplü televizyonlar ve osiloskoplar tam olarak bunu kullanırdı.

TUZAK · Kütleyi karıştırmak. Elektron ile protonun yükü aynı büyüklükte ama kütleleri 1836 kat farklı. Aynı alanda elektronun ivmesi 1836 kat büyük. Işık hızını aşan bir sonuç bulduysan büyük ihtimalle protona elektron kütlesi koydun.

Sık yapılan hatalar