Elektrik yükü, Coulomb yasası ve nokta yüklerin alanı

Physics II’nin ilk haftası, dönemin geri kalanının dilini kuruyor. Gauss yasası, potansiyel, kondansatör, hepsi burada öğrendiğin iki formülün üzerine oturuyor: Coulomb kuvveti ve nokta yükün elektrik alanı. Sınavda bu haftadan gelen soru tipi neredeyse hep aynı: birkaç nokta yük verilir, bir noktadaki net kuvvet ya da alan sorulur. Puan kaybı fizik bilmemekten değil, vektörü skaler gibi toplamaktan gelir.

Altın kurallar:

1. Büyüklüğü mutlak değerle hesapla, yönü resimden bul. Formüle işaretli yük koyup işaretten yön çıkarmaya çalışma.
2. Birimleri baştan SI’ya çevir. μC → $10^{-6}$ C, nC → $10^{-9}$ C, cm → m. Sonra kareyi al.
3. Vektörleri bileşenlere ayır. $x$‘leri kendi arasında, $y$‘leri kendi arasında topla.
4. Simetri ara. Birbirini götüren alanlar seni yarım sayfa hesaptan kurtarır.

Elektrik yükü (electric charge)

Doğada iki tür yük var: pozitif ve negatif. Aynı işaretliler birbirini iter, zıt işaretliler çeker. Bir cisim normalde nötrdür: proton ve elektron sayısı eşit. Bir cismi “yüklemek” demek elektron eklemek ya da çıkarmak demektir. Protonlar çekirdekte sabittir, hareket eden hep elektrondur.

Yükün sınavda kullanacağın üç özelliği:

Temel yük (elementary charge) $e = 1.60 \times 10^{-19}$ C. Elektronun yükü $-e$, protonunki $+e$. SI birimi coulomb (C), ama sınavda göreceğin yükler genelde mikrocoulomb ($\mu$C) ya da nanocoulomb (nC) mertebesinde.

Örnek 1. Bir cismin yükü $-8.0$ nC. Kaç fazla elektronu var?

$N = \frac{|q|}{e} = \frac{8.0 \times 10^{-9}\ \text{C}}{1.60 \times 10^{-19}\ \text{C}} = 5.0 \times 10^{10}$

Negatif yük, fazla elektron demek. Pozitif olsaydı aynı sayıda elektron eksik olacaktı.

İletkenler ve yalıtkanlar

İletken (conductor): İçinde serbestçe hareket edebilen elektronlar var. Metaller, insan vücudu, tuzlu su. Bir iletkene yük koyarsan yük hızla bütün yüzeye yayılır.

Yalıtkan (insulator): Elektronlar atomlara sıkı bağlı. Cam, plastik, kauçuk, kuru tahta. Yalıtkana sürtünmeyle yük verirsen yük koyduğun yerde kalır.

Yarıiletken (semiconductor): Silisyum, germanyum. İletkenliği ikisinin arasında, katkılamayla ayarlanır.

İndüksiyonla yükleme (charging by induction)

Nötr bir metal küreye negatif yüklü bir çubuğu dokundurmadan yaklaştır. Kürenin elektronları itilir, uzak tarafa kaçar. Yakın taraf pozitif, uzak taraf negatif olur. Şimdi uzak tarafı bir telle toprağa bağla: elektronlar toprağa akar. Önce teli kes, sonra çubuğu uzaklaştır. Küre artık pozitif yüklüdür ve çubuk hiç yük kaybetmemiştir.

TUZAK · Sıranın önemi. Çubuğu toprak bağlantısını kesmeden önce uzaklaştırırsan, elektronlar topraktan geri gelir ve küre nötr kalır. Sınavda “hangi sırayla” sorusu bu yüzden gelir.

Yalıtkanlarda benzer bir etki daha zayıf olur: moleküllerin yük dağılımı biraz kayar (polarizasyon). Yüklü bir tarağın kâğıt parçalarını çekmesi bundandır.

Coulomb yasası (Coulomb’s law)

İki nokta yük arasındaki kuvvetin büyüklüğü:

$F_e = k_e \frac{|q_1|\,|q_2|}{r^2}, \qquad k_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8.99 \times 10^{9}\ \text{N·m}^2/\text{C}^2$

Burada $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\ \text{C}^2/(\text{N·m}^2)$ boşluğun elektriksel geçirgenliği (permittivity of free space). Kuvvet iki yükü birleştiren doğru boyuncadır. Newton’un üçüncü yasası geçerli: $q_1$‘in $q_2$‘ye uyguladığı kuvvet, $q_2$‘nin $q_1$‘e uyguladığına eşit ve zıt yönlü. Yüklerin büyüklüğü farklı olsa bile.

Vektör formu:

$\vec F_{12} = k_e \frac{q_1 q_2}{r^2}\,\hat r_{12}$

$\hat r_{12}$, $q_1$‘den $q_2$‘ye bakan birim vektör. $q_1 q_2 > 0$ ise kuvvet $q_2$‘yi $q_1$‘den uzaklaştırır.

Örnek 2. $+3.0\ \mu$C ve $-5.0\ \mu$C yükleri 0.20 m arayla duruyor.

$F = \frac{(8.99 \times 10^{9})(3.0 \times 10^{-6})(5.0 \times 10^{-6})}{(0.20)^2} = 3.37\ \text{N}\ \ (\text{çekme})$

Birden fazla yük: süperpozisyon

Bir yüke etki eden net kuvvet, diğer yüklerin her birinin tek başına uyguladığı kuvvetlerin vektörel toplamıdır. Yöntem hep aynı:

1. Her çift için büyüklüğü mutlak değerle hesapla.
2. Yönü çiz: itme mi çekme mi?
3. Her kuvveti $x$ ve $y$ bileşenlerine ayır.
4. Bileşenleri topla, büyüklüğü ve açıyı bul.

Örnek 3. $q_1 = +2.0\ \mu$C orijinde, $q_2 = -3.0\ \mu$C $(0.30, 0)$ m’de, $q_3 = +4.0\ \mu$C $(0, 0.40)$ m’de. $q_3$‘e etki eden net kuvvet?

q1 → q3:  r = 0.40 m, itme (q3'ü q1'den uzağa, +y)
  F1 = (8.99e9)(2.0e-6)(4.0e-6) / 0.40² = 0.449 N
  F1 = (0, +0.449) N

q2 → q3:  r = √(0.30² + 0.40²) = 0.50 m, çekme (q3'ten q2'ye doğru)
  F2 = (8.99e9)(3.0e-6)(4.0e-6) / 0.50² = 0.432 N
  q3'ten q2'ye yön: (0.30, -0.40)/0.50 = (0.60, -0.80)
  F2 = (0.432·0.60, -0.432·0.80) = (+0.259, -0.345) N

Toplam:  Fx = 0.259 N,  Fy = 0.449 - 0.345 = 0.104 N
  |F| = √(0.259² + 0.104²) = 0.279 N
  θ = arctan(0.104 / 0.259) = 21.9°  (+x ekseninden, birinci bölge)

İPUCU · 3-4-5 üçgenleri. Sınav sorularında mesafeler sık sık 3-4-5 oranındadır. Kosinüs ve sinüsü 0.60 ve 0.80 olarak hemen yazabilirsin.

Elektrik alan (electric field)

Bir yük, etrafındaki uzayı değiştirir. Oraya konan herhangi bir yük bu değişikliği kuvvet olarak hisseder. Bu değişikliğe elektrik alan denir. Tanımı, küçük pozitif bir deneme yüküne (test charge) $q_0$ etki eden kuvvetin yüke oranıdır:

$\vec E = \frac{\vec F_e}{q_0} \qquad [\text{N/C}]$

Alan bir kere bilinirse, oraya konan herhangi bir $q$ yüküne etki eden kuvvet:

$\vec F_e = q\vec E$

$q$ pozitifse kuvvet alanla aynı yönde, negatifse zıt yönde. Elektronun hareket yönü sorularında ilk kontrol edeceğin şey bu.

Nokta yükün alanı:

$E = k_e \frac{|q|}{r^2}$

Yön: pozitif yükten dışarı (radyal olarak uzağa), negatif yüke doğru (içeri).

Nokta yüklerin alanında süperpozisyon

Kuvvette olduğu gibi: $\vec E = \sum_i \vec E_i$. Her yükün alanını ayrı çiz, bileşenlere ayır, topla.

Örnek 4. $+4.0$ nC $(-0.10, 0)$ m’de, $-4.0$ nC $(+0.10, 0)$ m’de. $P = (0, 0.10)$ m noktasındaki alan?

Her iki yüke uzaklık:  r = √(0.10² + 0.10²) = 0.1414 m,  r² = 0.020 m²
Büyüklük (ikisi için aynı):  E = (8.99e9)(4.0e-9) / 0.020 = 1798 N/C

E1 (+ yük, ondan UZAĞA): yön (0.10, 0.10)/0.1414 = (0.707, 0.707)
  E1 = (+1271, +1271) N/C
E2 (− yük, ona DOĞRU): P'den (0.10, 0)'a yön (0.10, -0.10)/0.1414 = (0.707, -0.707)
  E2 = (+1271, -1271) N/C

Toplam: Ex = 2543 N/C, Ey = 0
  E = 2.54 × 10³ N/C, +x yönünde

$y$ bileşenleri simetri yüzünden sadeleşti. Bu, eşit ve zıt iki yükün (dipolün) dik açıortayındaki alanın her zaman pozitiften negatife paralel olduğunu gösterir.

Alanın sıfır olduğu nokta

İki nokta yükün alanlarının birbirini götürdüğü yeri bulmak klasik bir sorudur. Önce bölgeyi düşün, sonra denklemi kur:

Denklemi kurarken $\dfrac{k|q_1|}{r_1^2} = \dfrac{k|q_2|}{r_2^2}$ yaz, sonra iki tarafın karekökünü al. İkinci dereceden denklem çözmeye gerek kalmaz.

TUZAK · Arada sıfır arama. Zıt işaretli iki yükün arasında iki alan da aynı yöne (pozitiften negatife) bakar. Orada sıfır noktası bulduysan bölgeyi yanlış seçmişsin.

Sık yapılan hatalar