Elektrik akısı ve Gauss yasası: yalıtkanlara uygulama

Geçen hafta halka ve disk için uzun integraller aldın. Gauss yasası, simetri olan durumlarda o integrallerin hepsini iki satıra indirir. Sınavda üç tip soru gelir: verilen yüzeyden geçen akıyı hesapla, kapalı bir yüzeyden geçen net akıyı iç yükten bul, ve küre, çizgi ya da levha için alanı Gauss ile türet. Üçünün de anahtarı aynı: akı, yüzeyden geçen alan çizgisi miktarıdır ve kapalı bir yüzeyden çıkan net çizgi sayısı içerideki yüke bağlıdır.

Altın kurallar:

1. Açı her zaman normalle ölçülür. Soru “yüzeyle 30°” diyorsa normalle 60°‘dir.
2. Net akı sadece içerideki yüke bağlı. Dışarıdaki yük ne kadar büyük olursa olsun net akıya sıfır katkı verir.
3. Gauss yüzeyini simetriye göre seç: küre için küre, çizgi için silindir, levha için kutu (pillbox).
4. Yalıtkanın içinde alan sıfır değildir. Sadece $r$‘nin içinde kalan yükü say.

Elektrik akısı (electric flux)

Düzgün bir alan, alanı $A$ olan düz bir yüzeyden geçiyor. Akı:

$\Phi_E = \vec E \cdot \vec A = EA\cos\theta \qquad [\text{N·m}^2/\text{C}]$

$\vec A$ alan vektörü (area vector): büyüklüğü yüzeyin alanı, yönü yüzeye dik (normal). $\theta$, $\vec E$ ile $\vec A$ arasındaki açı.

Alan düzgün değilse ya da yüzey eğriyse, yüzeyi küçük parçalara bölüp toplarsın:

$\Phi_E = \int \vec E \cdot d\vec A$

Örnek 1. 0.20 m × 0.30 m’lik dikdörtgenden $E = 500$ N/C düzgün alan geçiyor, alan normalle 30° yapıyor.

$\Phi = (500)(0.060)\cos 30^\circ = 26.0\ \text{N·m}^2/\text{C}$

Kapalı yüzey (closed surface)

Kapalı bir yüzeyde (küre, küp, kutu) normal her zaman dışarı bakar. Bu yüzden dışarı çıkan çizgiler pozitif, içeri giren çizgiler negatif akı verir. Dışarıdan gelip içinden geçerek çıkan bir çizgi bir kere girer, bir kere çıkar: net katkısı sıfır. Net akıya katkı veren tek şey içeride başlayan ya da biten çizgilerdir, yani içerideki yük.

Gauss yasası (Gauss’s law)

$\Phi_E = \oint \vec E \cdot d\vec A = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0}$

$q_{in}$, kapalı yüzeyin içindeki net yük (işaretiyle). $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\ \text{C}^2/(\text{N·m}^2)$.

Neden doğru? Nokta yük $q$‘yu yarıçapı $r$ olan bir küreyle sar. Alan her yerde yüzeye dik ve büyüklüğü $kq/r^2$. Akı $= (kq/r^2)(4\pi r^2) = 4\pi k q = q/\varepsilon_0$. $r$ sadeleşti: kürenin büyüklüğü fark etmiyor. Şekli bozsan da aynı çizgiler geçer, sonuç aynı kalır.

Örnek 2. Kapalı bir yüzeyin içinde $+3.0$ nC ve $-5.0$ nC var, dışında $+1.0$ nC.

$\Phi = \frac{(+3.0 - 5.0) \times 10^{-9}}{8.85 \times 10^{-12}} = -226\ \text{N·m}^2/\text{C}$

Dışarıdaki $+1.0$ nC hesaba girmez. Ama yüzey üzerindeki alanı değiştirir. Gauss yasası net akıyı söyler, her noktadaki alanı söylemez.

TUZAK · “Akı sıfır ise alan sıfırdır.” Yanlış. Düzgün bir alana konan boş bir küpte net akı sıfırdır ama her yüzde alan 0 değildir. Bir yüzden giren, karşı yüzden çıkar.

Örnek 3 (simetri ile akı). Kenarı 0.20 m olan küpün tam ortasında $q = 2.0$ nC var. Bir yüzden geçen akı?

Altı yüz simetrik, her biri eşit pay alır:

$\Phi_{\text{yüz}} = \frac{q}{6\varepsilon_0} = \frac{2.0 \times 10^{-9}}{6(8.85 \times 10^{-12})} = 37.7\ \text{N·m}^2/\text{C}$

Bir yüz üzerinde alan ne düzgün ne de dik. Doğrudan integral zor; simetri onu bedavaya getirir.

Gauss yasasıyla alan bulmak

Gauss yasası her zaman doğrudur ama alanı ondan çekebilmek için integralin içinden $E$‘yi dışarı alabilmen gerekir. Bunun için Gauss yüzeyini öyle seçersin ki yüzeyin her parçasında:

• $\vec E$ yüzeye dik ve büyüklüğü sabit olsun (o zaman $\oint E\,dA = EA$), ya da
• $\vec E$ yüzeye paralel olsun (o zaman o parçanın akısı 0).

Bu ancak üç simetride mümkün:

Düzgün yüklü yalıtkan küre

Yarıçap $R$, toplam yük $Q$, hacim yoğunluğu $\rho = Q/(\tfrac{4}{3}\pi R^3)$.

Dışarıda ($r > R$): Gauss küresinin içinde bütün yük var.

$E(4\pi r^2) = \frac{Q}{\varepsilon_0} \Rightarrow E = \frac{k_e Q}{r^2}$

Dışarıdan bakınca küre, merkezindeki nokta yük gibidir.

İçeride ($r < R$): Sadece yarıçapı $r$ olan kürenin içindeki yük sayılır:

$q_{in} = \rho\cdot\tfrac{4}{3}\pi r^3 = Q\frac{r^3}{R^3} \quad\Rightarrow\quad E = \frac{k_e Q}{R^3}\,r$

Merkezde sıfır, $r$ ile doğrusal artar, yüzeyde $kQ/R^2$ ile en büyük değere ulaşır, sonra $1/r^2$ ile düşer.

Örnek 4. $R = 0.10$ m, $Q = +6.0\ \mu$C düzgün dağılmış.

r = 0.05 m (içeride):  E = kQr/R³ = (8.99e9)(6.0e-6)(0.05)/(0.10)³ = 2.70e6 N/C
r = 0.10 m (yüzeyde):  E = kQ/R²  = (8.99e9)(6.0e-6)/(0.10)²    = 5.39e6 N/C
r = 0.20 m (dışarıda): E = kQ/r²  = (8.99e9)(6.0e-6)/(0.20)²    = 1.35e6 N/C

İçeride yarı yolda alan, yüzeydekinin yarısı. Dışarıda iki kat uzaklıkta, dörtte biri.

Sonsuz çizgi yükü (line of charge)

Yük yoğunluğu $\lambda$. Alan çizgiden radyal olarak dışarı (pozitifse). Yarıçapı $r$, boyu $\ell$ olan silindir seç. Kapaklarda alan yüzeye paralel: akı 0. Yan yüzeyde alan dik ve sabit:

$E(2\pi r\ell) = \frac{\lambda\ell}{\varepsilon_0} \Rightarrow E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} = \frac{2k_e\lambda}{r}$

$\ell$ sadeleşti, olması gerektiği gibi. Alan $1/r$ ile düşer, $1/r^2$ ile değil.

Örnek 5. $\lambda = 4.0\ \mu\text{C/m}$, $r = 0.12$ m.

$E = \frac{2(8.99 \times 10^{9})(4.0 \times 10^{-6})}{0.12} = 5.99 \times 10^{5}\ \text{N/C}$

Aynı yöntem, yarıçapı $R$ olan düzgün yüklü silindirin içine uygulanınca ($q_{in} = \rho\pi r^2\ell$) $E = \rho r/(2\varepsilon_0)$ verir.

Sonsuz yalıtkan levha

Yüzey yoğunluğu $\sigma$. Levhayı delen, kesit alanı $A$ olan bir kutu (pillbox) seç. Yan yüzlerde alan paralel: akı 0. İki kapakta alan dik ve dışarı:

$E(2A) = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0} \Rightarrow E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$

Geçen hafta disk formülünün $R \to \infty$ limitinden bulduğumuz sonucun aynısı, ama integralsiz. İki zıt yüklü paralel levhada alanlar arada toplanır ($\sigma/\varepsilon_0$), dışarıda birbirini götürür (0). Bu, kondansatör konusunun temelidir.

Gauss yasası ne zaman işe yaramaz?

Sonlu bir çubuk, bir halka ya da bir disk için Gauss yasası yine doğrudur, ama hiçbir yüzeyde $E$ hem sabit hem dik olmaz. İntegralin içinden $E$‘yi çıkaramazsın. Bu yüzden geçen haftanın integral yöntemi gerekiyordu. Sınavda “use Gauss’s law to find the field of a finite rod” gibi bir soru görürsen tuzak vardır: ya çubuk “very long” kabul edilecek ya da integral yöntemine döneceksin. Kural basit: önce simetriyi göster, sonra Gauss yüzeyini çiz.

İPUCU · Sonucu boyutla kontrol et. Nokta: $1/r^2$. Çizgi: $1/r$. Düzlem: $r$‘den bağımsız. Boyut sayısı arttıkça alan mesafeyle daha yavaş düşer.

Sık yapılan hatalar