Potansiyel enerji ve korunumlu kuvvetler

Geçen hafta her kuvvetin işini tek tek hesapladın. Bazı kuvvetler için bu işi önceden “depolanmış” bir enerji olarak düşünebilirsin: potansiyel enerji (potential energy). Bir kitabı rafa kaldırdığında yaptığın iş kaybolmaz, konumda saklanır. Kitap düşerken geri verilir. Bu hafta iki potansiyel enerji türünü (yerçekimi ve yay), hangi kuvvetler için potansiyel enerji tanımlanabileceğini ve $U(x)$‘ten kuvvet bulmayı öğreneceksin.

Altın kurallar:

1. $U_g = mgy$, $U_s = \tfrac12 kx^2$.
2. Korunumlu kuvvetin işi $W = -\Delta U$ ve yoldan bağımsızdır.
3. Sürtünme korunumsuzdur: işi yolun uzunluğuna bağlı, potansiyel enerjisi yok.
4. $F_x = -dU/dx$. Eksi işaret kuvvetin $U$‘nun azaldığı yöne baktığını söyler.

Yerçekimi potansiyel enerjisi

$m$ kütleli bir cismi sabit hızla $y_i$‘den $y_f$‘ye kaldırdığında yerçekimi $-mg(y_f - y_i)$ iş yapar. Bu işin eksisini potansiyel enerji değişimi olarak tanımlarız:

$U_g = mgy \qquad \Delta U_g = mg\,\Delta y = -W_g$

$y$, seçtiğin referans seviyesinden (reference level) yukarı doğru ölçülür. Referansı yer, masa, tavan, nereyi istersen seçebilirsin. $U$‘nun değeri değişir, $\Delta U$ değişmez. Fizik sadece farkla ilgilenir.

Çözümlü örnek 1. 0.500 kg’lık top 30.0 m yükseklikteki bir çatıda duruyor.

Referans = yer:   U = 0.500 · 9.80 · 30.0 = 147 J
Referans = çatı:  U = 0
Top yere düşerse: ΔU = -147 J   (iki referansta da aynı)
Yerçekiminin işi: W_g = -ΔU = +147 J

TUZAK · yükseklik referanstan ölçülür. Raf masanın 1.50 m üstünde, masa yerden 0.900 m yüksekse rafın yerden yüksekliği 2.40 m’dir. Soruda hangi yüksekliğin sorulduğunu dikkatle oku.

Yay potansiyel enerjisi

Yayı $x$ kadar germek için yaptığın iş $\tfrac12 kx^2$ idi (10. hafta). Bu iş yayda esneklik potansiyel enerjisi (elastic potential energy) olarak saklanır:

$U_s = \tfrac12 kx^2$

$x$ denge konumundan uzama ya da sıkışmadır. Kare olduğu için ikisi de pozitif enerji verir.

Çözümlü örnek 2. $k = 250\ \text{N/m}$ bir yay 8.00 cm sıkıştırılmış.

$U_s = \tfrac12(250\ \text{N/m})(0.0800\ \text{m})^2 = 0.800\ \text{J}$

Uzamayı ikiye katlarsan enerji dört katına çıkar: $U \propto x^2$.

Yerçekiminden farklı olarak yay enerjisinin referansı serbest değildir. $x$ her zaman yayın doğal uzunluğundan (natural length) ölçülür, çünkü $U_s = 0$ yay ne gerili ne sıkışıkken olur. Düşey asılı bir yayda iki enerji birlikte görünür: blok aşağı indikçe $U_g$ azalır, $U_s$ artar. Problemlerde ikisini ayrı terimler olarak yaz ve her birinin kendi referansını karıştırma: $U_g$ için seçtiğin bir yükseklik, $U_s$ için yayın doğal uzunluğu.

Korunumlu ve korunumsuz kuvvetler

Bir kuvvetin korunumlu (conservative) olması için iki eşdeğer koşul var:

1. Bir noktadan diğerine yaptığı iş yoldan bağımsızdır (path independence), sadece uçlara bağlıdır.
2. Kapalı bir yolda yaptığı iş sıfırdır.

Sürtünme neden korunumsuz? Çünkü her adımda harekete zıttır. Gidiş de geliş de negatif iş yapar. Kutuyu 3 m ileri itip geri getirdiğinde sürtünmenin toplam işi $-f \cdot 6\ \text{m}$ olur, sıfır değil. Bu enerji ısıya (iç enerjiye) dönüşür ve mekanik olarak geri gelmez.

TUZAK · sürtünmede yer değiştirme değil yol. $(0,0)$‘dan $(4,3)$‘e L şeklinde giden kutu 7.00 m yol alır, yer değiştirmesi 5.00 m’dir. Sürtünmenin işi $-f \cdot 7.00$. Yerçekiminin işi ise yatay yolda iki durumda da sıfır.

Kuvvet ile potansiyel enerji arasındaki ilişki

Korunumlu kuvvet için $dU = -F_x\,dx$. Buradan iki yönlü ilişki:

$F_x = -\frac{dU}{dx} \qquad U(x) = -\int F_x\,dx + C$

Kontrol: $U_s = \tfrac12 kx^2 \Rightarrow F = -kx$ (Hooke). $U_g = mgy \Rightarrow F_y = -mg$ (aşağı). İkisi de tutuyor.

Çözümlü örnek 3. $U(x) = 4x^2 - x^4$ (J, m). $x = 1.00$ m’deki kuvvet ve denge noktaları?

dU/dx = 8x - 4x³
F(1) = -(8 - 4) = -4.00 N   (eksi x yönünde)
Denge: 8x - 4x³ = 0 → 4x(2 - x²) = 0 → x = 0, x = ±√2 = ±1.41 m
d²U/dx² = 8 - 12x²
  x = 0:      +8  > 0 → U minimum → kararlı
  x = ±1.41:  -16 < 0 → U maksimum → kararsız

Çözümlü örnek 4. $F(x) = -2x$ (N, m), $U(0) = 0$. $U(3)$?

$U(3) = -\int_0^3 (-2x)\,dx = \left[x^2\right]_0^3 = 9.00\ \text{J}$

Potansiyel enerji grafiğini okumak

$U(x)$ grafiği bir tepe-vadi manzarası gibidir. Kuvvet her zaman yokuş aşağı gösterir (eğimin tersi):

• Eğim pozitifse ($U$ artıyor) kuvvet $-x$ yönünde.
• Eğim sıfırsa kuvvet sıfır: denge (equilibrium).
• Vadinin dibi (minimum): kararlı denge (stable). Biraz itersen geri döner.
• Tepenin üstü (maksimum): kararsız denge (unstable). Biraz itersen uzaklaşır.
• Düz bölge: nötr denge.

TUZAK · $U = 0$ ile $F = 0$ aynı şey değil. Denge, $U$‘nun eğiminin sıfır olduğu yerdir. $U$‘nun kendisinin sıfır olduğu nokta özel bir anlam taşımaz; referansa bağlıdır.

Karışık sınav örnekleri

Çözümlü örnek 5 (U’dan kuvvet ve denge). $U(x) = 2x^3 - 6x$ (J, m).

F(x) = -dU/dx = -(6x² - 6)
F(2.00) = -(24 - 6) = -18.0 N
Denge: 6x² - 6 = 0  →  x = +1.00 m ve x = -1.00 m
d²U/dx² = 12x
  x = +1.00:  +12 > 0  → minimum, kararlı,   U(1) = -4.00 J
  x = -1.00:  -12 < 0  → maksimum, kararsız, U(-1) = +4.00 J

Toplam enerjisi $E = 0$ olan bir parçacık $x = 1$ civarındaysa nereye kadar gidebilir? $U(x) = 0$ olan yerler: $2x(x^2 - 3) = 0$, yani $x = 0$ ve $x = \sqrt3 = 1.73$ m. Parçacık bu iki dönüş noktası arasında salınır. Bu fikri 13. haftada enerji diyagramı olarak göreceksin.

Çözümlü örnek 6 (yol bağımsızlığı). 4.00 kg’lık kutu 3.00 m yüksekliğe iki yoldan çıkarılıyor: 10 basamaklı merdivenle ya da 8.00 m’lik rampayla. Yerçekiminin işi?

$W_g = -mg\,\Delta y = -(4.00)(9.80)(3.00) = -118\ \text{J}$

İki yolda da aynı. Merdivende yatay adımlarda yerçekimi iş yapmaz, dikey adımların toplamı 3.00 m. Rampada kuvvet bileşeni küçük ama yol uzun: $mg\sin\theta \cdot L = mg\,h$. Yol uzunluğu sadece sürtünmenin işini değiştirir.

İPUCU · sınavda bu konunun yeri. Saf potansiyel enerji soruları kolaydır ($mgh$, $\tfrac12 kx^2$). Asıl puan $F = -dU/dx$ türev sorularında ve korunumlu kuvvet kavram sorularında. Türevin işaretini ve kararlılık testini mutlaka çalış.

Sık yapılan hatalar