PHY1001 · 13. hafta · Potential Energy and Conservation of Energy: Conservation of Energy, Changes in Mechanical Energy, relationship Between Conservative Forces and Potential Energy, Mass-Energy Equivalence.

Mekanik enerjinin korunumu

K + U sabittir; sürtünme varsa kayıp f·d kadardır. Serbest düşme, sarkaç, yay, rampa ve lup sorularını tek denklemle çözersin.

conservation of mechanical energymechanical energyisolated systeminternal energynonconservative workenergy diagramturning pointrest energymass-energy equivalence

Geçen iki haftanın parçaları burada birleşiyor. Kinetik enerji (11. hafta) ve potansiyel enerji (12. hafta) toplamına mekanik enerji (mechanical energy) diyoruz. Sadece korunumlu kuvvetler iş yapıyorsa bu toplam değişmez. Bu, fizikteki en güçlü kısayollardan biridir: rampanın şekli ne kadar karmaşık olursa olsun, sadece başlangıç ve bitiş durumuna bakarak hız ya da yükseklik bulursun.

Altın kurallar:

Korunum: $K_i + U_i = K_f + U_f$ , sadece korunumlu kuvvetler (yerçekimi, yay) iş yapıyorsa.
Sürtünme varsa mekanik enerji azalır: $\Delta E_{mech} = -f_kd$ .
Enerji skalerdir. Yön yok, bileşen yok. Hız yönü sorulmuyorsa enerji en kısa yoldur.
Normal kuvvet iş yapmaz, denklemde görünmez.

Mekanik enerjinin korunumu

Korunumlu kuvvetin işi $W = -\Delta U$ ve iş-enerji teoremi $W = \Delta K$ . Eşitlersen:

$\Delta K + \Delta U = 0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad K_i + U_i = K_f + U_f$

$\tfrac12 mv_i^2 + mgy_i + \tfrac12 kx_i^2 = \tfrac12 mv_f^2 + mgy_f + \tfrac12 kx_f^2$

Çözüm yöntemi

1. Sistemi ve iki anı seç (başlangıç / bitiş).
2. Referans seviyesini (y = 0) seç, genelde en alçak nokta.
3. Her an için K, U_g, U_s yaz. Sıfır olanları at.
4. Sürtünme var mı? Varsa sağ tarafa -f d ekle.
5. Bilinmeyeni çek.

Çözümlü örnek 1. 10.0 m yüksek bir çatının kenarından top 15.0 m/s ile yukarı atılıyor. Yere çarptığı andaki sürat?

Referans: yer.  y_i = 10.0 m, y_f = 0
½ v_i² + g y_i = ½ v_f²        (m sadeleşti)
v_f² = 15.0² + 2 · 9.80 · 10.0 = 225 + 196 = 421
v_f = 20.5 m/s

Topun yukarı, aşağı ya da yana atılması bir şey değiştirmez. Aynı süratle atılan her top yere aynı süratle çarpar. Enerji yönü bilmez.

TUZAK · enerji yön vermez. Korunum denklemi sürat verir. Çarpma açısı sorulursa yine bileşenlere ve kinematiğe dönersin.

Sistemi seçmek

Potansiyel enerji tek bir cisme değil, bir sisteme aittir: yerçekimi potansiyel enerjisi cisim ile Dünya’nın, yay enerjisi blok ile yayın. Sistemin içinde sadece korunumlu kuvvetler iş yapıyor ve dışarıdan iş gelmiyorsa sistem izole (isolated system) sayılır ve mekanik enerjisi korunur. Sınavda bunu tek cümleyle düşün: “Sürtünme, hava direnci ya da itme var mı?” Yoksa korunum, varsa kayıp terimi.

Yay ile

Çözümlü örnek 2. 2.00 kg’lık blok $k = 500\ \text{N/m}$ yaya dayalı, yay 0.200 m sıkıştırılmış. Bırakılıyor, sürtünmesiz yatay yolda gidip sürtünmesiz bir rampaya tırmanıyor. Yay terk edildiğindeki hız ve çıkabildiği en büyük yükseklik?

U_s = ½ · 500 · 0.200² = 10.0 J
Yayı terk ederken: ½ · 2.00 · v² = 10.0  →  v = 3.16 m/s
En yüksek noktada K = 0:  m g h = 10.0  →  h = 10.0 / (2.00 · 9.80) = 0.510 m

Sarkaç

Sarkaç topu düşeyle $\theta$ açısındayken, en alt noktadan yüksekliği $h = L(1 - \cos\theta)$ olur. İp gerilmesi harekete dik olduğu için iş yapmaz. En alttaki hız $v = \sqrt{2gL(1 - \cos\theta)}$ .

Sürtünme ile: mekanik enerji değişimi

Kinetik sürtünme korunumsuzdur. Yaptığı iş mekanik enerjiyi azaltır ve o enerji yüzeylerin iç enerjisine (internal energy), yani ısıya geçer:

$\Delta E_{mech} = \Delta K + \Delta U = -f_kd$

$d$ kayma yolunun uzunluğudur. Dış bir kuvvet (sen ya da bir motor) iş yapıyorsa onu da eklersin:

$K_f + U_f = K_i + U_i + W_{\text{dış}} - f_kd$

Çözümlü örnek 3. 5.00 kg’lık kutu yatay zeminde 8.00 m/s ile kaymaya başlıyor, $\mu_k = 0.250$ . Ne kadar yol alır, kaç J iç enerjiye geçer?

Son durumda K = 0, U değişmiyor.
0 = ½ · 5.00 · 8.00² - 0.250 · 5.00 · 9.80 · d
160 J = 12.25 N · d  →  d = 13.1 m
İç enerjiye geçen: 160 J (bütün kinetik enerji)

TUZAK · eğik düzlemde sürtünme $\mu mg$ değil. Rampada $N = mg\cos\theta$ , bu yüzden $f_k = \mu_k mg\cos\theta$ . Yataydaki alışkanlıkla $\mu_k mg$ yazarsan sürtünmeyi fazla hesaplarsın.

Enerji diyagramları

$U(x)$ grafiğinin üstüne toplam enerji $E$ ‘yi yatay bir çizgi olarak çiz. Her noktada $K = E - U(x)$ :

$E > U$ : parçacık orada bulunabilir, $K > 0$ .
$E = U$ : dönüş noktası (turning point). Parçacık anlık durur, geri döner.
$E < U$ : yasak bölge, $K$ negatif olamaz.
$U$ ‘nun minimumunda $K$ en büyüktür (en hızlı geçtiği yer). Bu kararlı denge noktasıdır.

Yay üzerindeki blokta $U = \tfrac12 kx^2$ bir paraboldür. Dönüş noktaları $x = \pm A$ (genlik), en hızlı nokta $x = 0$ .

İPUCU · dönüş noktasında kuvvet sıfır değil. Hız sıfır, ama kuvvet $-dU/dx$ en büyük değerlerinden birindedir. Onu geri çeviren de bu kuvvettir. Yukarı atılan topun tepede $a = -g$ olması gibi.

Kütle-enerji eşdeğerliği (kısa not)

Einstein’a göre kütle de bir enerji biçimidir. Durgun bir cismin durgun enerjisi (rest energy):

$E_R = mc^2 \qquad c = 3.00\times10^8\ \text{m/s}$

Çözümlü örnek 4. 1.00 kg kütlenin enerji karşılığı $(1.00)(3.00\times10^8)^2 = 9.00\times10^{16}\ \text{J}$ . Bu, büyük bir şehrin yıllarca kullanacağı elektrik demektir. Nükleer reaksiyonlarda kütlenin küçük bir kesri bu yolla enerjiye dönüşür. Sınavda tuzak birimdedir: kütle gram verilirse kilograma çevir.

Karışık sınav örnekleri

Çözümlü örnek 5 (yay + sürtünme). 0.500 kg’lık blok, $k = 200\ \text{N/m}$ yayı 0.150 m sıkıştırmış hâlde tutuluyor. Bırakılıyor ve $\mu_k = 0.300$ olan yatay zeminde kayıyor (sürtünme yayın açıldığı sırada da etkili). Blok bırakıldığı yerden ne kadar uzakta durur?

Başlangıç: K = 0, U_s = ½ · 200 · 0.150² = 2.25 J
Son:       K = 0, U_s = 0 (blok yaydan ayrıldı)
Sürtünme:  f = 0.300 · 0.500 · 9.80 = 1.47 N
0 = 2.25 - 1.47 d   →   d = 1.53 m

Burada blok yaydan 0.150 m sonra ayrılır, toplam 1.53 m yol alır. Yayın tüm enerjisi sonunda ısıya döner.

Çözümlü örnek 6 (lupta normal kuvvet). 0.200 kg’lık araba, $R = 0.500$ m yarıçaplı lupun tabanından $h = 3R = 1.50$ m yükseklikten durgun bırakılıyor. Lupun tepesindeki hız ve normal kuvvet?

Enerji:  g h = g (2R) + ½ v²   →  v² = 2g(h - 2R) = 2·9.80·0.500 = 9.80
         v = 3.13 m/s
Tepede (merkez aşağıda):  N + m g = m v² / R
         N = 0.200 (9.80/0.500 - 9.80) = 0.200 · 9.80 = 1.96 N

Bu soru 8. haftadaki dairesel hareket dinamiğiyle enerjinin birleşimi. Önce enerjiyle hızı bul, sonra Newton’un 2. yasasını merkeze doğru yaz.

Durum	Denklem
Sadece yerçekimi ve yay	$K_i + U_i = K_f + U_f$
Kinetik sürtünme var	$K_f + U_f = K_i + U_i - f_kd$
Dış itme ya da motor var	$K_f + U_f = K_i + U_i + W_{\text{dış}} - f_kd$
Çarpışma (yapışma) var	Çarpışma anında enerji değil, momentum (14. hafta)

Sık yapılan hatalar

Yanlış düşünce	Doğrusu
Sürtünme varken $K_i + U_i = K_f + U_f$	Sağa ya da sola $f_kd$ kaybını ekle
$v = \sqrt{gh}$	$v = \sqrt{2gh}$
Sarkaçta $h = L$ ya da $L\cos\theta$	$h = L(1 - \cos\theta)$
İlk hızı unutmak	$K_i = \tfrac12 mv_i^2$ ekle
Hızları doğrudan toplamak	Enerjileri topla, sonra karekök
Eğimde $f = \mu mg$	$f = \mu mg\cos\theta$
Yayın enerjisi $kx$	$\tfrac12 kx^2$
Lup tepesinde hız sıfır olabilir	En az $v^2 = gR$ ; $h_{min} = 2.5R$
Dönüş noktasında kuvvet sıfır	$K = 0$ , kuvvet sıfır değil
$E = mc^2$ ‘de gram kullanmak	kg’a çevir: 1 g = $10^{-3}$ kg
Enerji yön de verir	Sadece sürat; yön için bileşenler

Kendini test et

Sınavdaki gibi İngilizce sorular. Önce kâğıt kalemle çöz, sonra cevabı aç.

Soru 1kolay

A stone is dropped from rest from a height of 12.0 m. Ignoring air resistance, what is its speed just before it hits the ground?

15.3 m/s
10.8 m/s
235 m/s
118 m/s
7.67 m/s

Cevabı göster

A) 15.3 m/s

$mgh = \tfrac12 mv^2 \Rightarrow v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2(9.80)(12.0)} = 15.3\ \text{m/s}$ . B: 2 unutulmuş ( $\sqrt{gh}$ ). C: karekök alınmamış ( $v^2$ ). D: $gh$ , hem 2 hem kök yok. E: $\sqrt{gh/2}$ , $\tfrac12$ ters tarafa geçirilmiş.

Soru 2orta

A simple pendulum of length 1.20 m is released from rest at $40.0^\circ$ from the vertical. What is the bob's speed at the lowest point?

4.85 m/s
4.24 m/s
2.35 m/s
6.26 m/s
3.89 m/s

Cevabı göster

C) 2.35 m/s

Düşey düşüş $h = L(1 - \cos 40.0^\circ) = 1.20(0.234) = 0.281\ \text{m}$ . $v = \sqrt{2gh} = 2.35\ \text{m/s}$ . A: $h = L$ alınmış. B: $h = L\cos\theta$ . D: hesap makinesi RAD modunda. E: $h = L\sin\theta$ .

Soru 3orta

A spring ( $k = 600\ \text{N/m}$ ) standing vertically is compressed $0.150\ \text{m}$ and used to launch a 0.250 kg ball straight up. Ignoring air resistance and the spring's mass, how high above its release point does the ball rise?

5.51 m
36.7 m
2.61 m
2.76 m
1.38 m

Cevabı göster

D) 2.76 m

$\tfrac12 kx^2 = mgh \Rightarrow h = \dfrac{\tfrac12(600)(0.150)^2}{(0.250)(9.80)} = \dfrac{6.75}{2.45} = 2.76\ \text{m}$ . A: $\tfrac12$ unutulmuş. B: $kx/mg$ , kuvvetleri oranlamak. C: 0.150 m çıkarılmış; soru bırakılma noktasından soruyor. E: fazladan $\tfrac12$ .

Soru 4orta

A block starts from rest and slides $4.00\ \text{m}$ down a $30.0^\circ$ incline with $\mu_k = 0.200$ . What is its speed at the bottom?

6.26 m/s
4.85 m/s
5.06 m/s
7.75 m/s
7.26 m/s

Cevabı göster

C) 5.06 m/s

$\tfrac12 mv^2 = mgd\sin\theta - \mu_k mg\cos\theta\, d \Rightarrow v = \sqrt{2gd(\sin\theta - \mu_k\cos\theta)} = 5.06\ \text{m/s}$ . A: sürtünmesiz. B: $N = mg$ alınmış (cos unutulmuş). D: sin ve cos yer değiştirmiş. E: sürtünme enerji ekliyormuş gibi işaret ters.

Soru 5kolay

A 5.00 kg crate slides $3.00\ \text{m}$ across a level floor with $\mu_k = 0.400$ . How much mechanical energy is converted into internal energy?

58.8 J
19.6 J
147 J
6.00 J
0 J

Cevabı göster

A) 58.8 J

$\Delta E_{mech} = -f_kd = -\mu_k mg\,d = -(0.400)(5.00)(9.80)(3.00) = -58.8\ \text{J}$ . Bu kadar enerji iç enerjiye (ısıya) geçer. B: sürtünme kuvveti (N), mesafe yok. C: $\mu_k$ unutulmuş. D: $g$ unutulmuş. E: enerji hep korunur sanmak; mekanik enerji sürtünmede korunmaz.

Soru 6orta

A roller-coaster car moves at 5.00 m/s at the top of a 25.0 m high hill. Ignoring friction, what is its speed when it is 10.0 m above the ground?

17.1 m/s
22.1 m/s
14.9 m/s
17.9 m/s
22.7 m/s

Cevabı göster

D) 17.9 m/s

$v_f = \sqrt{v_i^2 + 2g(h_i - h_f)} = \sqrt{25.0 + 2(9.80)(15.0)} = 17.9\ \text{m/s}$ . A: ilk hız unutulmuş. B: hızlar enerji yerine doğrudan toplanmış. C: düşüş 10.0 m alınmış. E: düşüş 25.0 m alınmış.

Soru 7kolay

A particle moves in one dimension with total mechanical energy E in a potential U(x). At a turning point of its motion:

K = E and U = 0
U = E and K = 0
the force on it is zero
U is at a minimum
K is at a maximum

Cevabı göster

B) U = E and K = 0

Dönüş noktasında (turning point) parçacık anlık durur: $K = 0$ , dolayısıyla $U = E$ . Kuvvet sıfır değildir, $-dU/dx$ kadardır ve parçacığı geri döndüren de odur. $U$ 'nun minimumu kararlı denge noktasıdır, orada $K$ maksimumdur.

Soru 8kolay

How much energy is equivalent to a mass of 1.00 g? (c = 3.00 × 10⁸ m/s)

9.00 × 10¹⁶ J
3.00 × 10⁵ J
4.50 × 10¹³ J
9.00 × 10⁷ J
9.00 × 10¹³ J

Cevabı göster

E) 9.00 × 10¹³ J

$E = mc^2 = (1.00\times10^{-3}\ \text{kg})(3.00\times10^8)^2 = 9.00\times10^{13}\ \text{J}$ . A: gram kilograma çevrilmemiş. B: $mc$ , kare yok. C: $\tfrac12 mc^2$ , kinetik enerji formülüyle karıştırmak. D: $c$ km/s cinsinden alınmış.

Soru 9orta

A 1.50 kg block slides at 4.00 m/s on a frictionless horizontal surface and runs into a spring with k = 240 N/m. What is the maximum compression of the spring (in m)?

Cevabı göster

0.316 m

$\tfrac12 mv^2 = \tfrac12 kx_{max}^2 \Rightarrow x_{max} = v\sqrt{m/k} = 4.00\sqrt{1.50/240} = 0.316\ \text{m}$ . Kontrol: $K = 12.0$ J, $\tfrac12(240)(0.316)^2 = 12.0$ J.

Soru 10orta

A 70.0 kg skier starts from rest at the top of a slope 20.0 m high and reaches the bottom at 15.0 m/s. How much mechanical energy (in J) was lost to friction and air drag?

Cevabı göster

5.85 × 10³ J

$E_i = mgh = (70.0)(9.80)(20.0) = 13\,720\ \text{J}$ . $E_f = \tfrac12(70.0)(15.0)^2 = 7875\ \text{J}$ . Kayıp $= 13\,720 - 7875 = 5845 \approx 5.85\times10^3\ \text{J}$ .

Soru 11zor

A small cart rolls without friction from rest down a track and around a vertical loop of radius $R = 0.800\ \text{m}$ . What minimum starting height (above the bottom of the loop) lets it stay on the track at the top of the loop?

1.60 m
2.00 m
2.40 m
0.800 m
1.20 m

Cevabı göster

B) 2.00 m

Tepede en az $v^2 = gR$ (normal kuvvet sıfır, sadece $mg$ merkezcil). Enerji: $mgh = mg(2R) + \tfrac12 m(gR) \Rightarrow h = 2.5R = 2.00\ \text{m}$ . A: $2R$ , tepede hız sıfır sanmak. C: $3R$ . D: $R$ . E: $1.5R$ .

Doğrulama: Tüm sayısal cevaplar ve çeldiriciler node ile hesaplandı (verify/PHY1001/13.mjs), g = 9.80 m/s², c = 3.00 × 10⁸ m/s.

Deftere not kartı

Mekanik enerji: E = K + U = ½ m v² + m g y + ½ k x² Sadece korunumlu kuvvet iş yapıyorsa: Ki + Ui = Kf + Uf Sürtünme varsa: Kf + Uf = Ki + Ui - f_k d (d = yol) ΔE_mech = -f_k d → iç enerjiye (ısı) gider Dış itme / motor varsa: Ef = Ei + W_dış Serbest düşme: v = √(2 g h) kütleden bağımsız Sarkaç: h = L (1 - cos theta) Yay → hız: v = x √(k/m) hız → yay: x = v √(m/k) Rampa + sürtünme: v = √(2 g d (sin - mu cos)) Lup tepesi min hız: v² = g R → h_min = 2.5 R Enerji diyagramı: dönüş noktası U = E (K = 0); E < U bölgesi yasak E = m c² c = 3.00 × 10⁸ m/s m kg cinsinden!