Kinetik enerji, iş-enerji teoremi ve güç

Geçen hafta işi hesaplamayı öğrendin. Bu hafta o işin ne işe yaradığını göreceksin: net iş, cismin hızını değiştirir. Bu ilişkiye iş-kinetik enerji teoremi (work-kinetic energy theorem) denir ve Newton’un ikinci yasasının enerji dilindeki hâlidir. Faydası şu: süre ve ivme sorulmayan problemlerde $F = ma$ ve kinematik denklemlerle uğraşmadan, tek satırda hız ya da mesafe bulursun.

Altın kurallar:

1. $K = \tfrac12 mv^2$. Kinetik enerji skalerdir ve hiçbir zaman negatif olmaz.
2. $W_{net} = \Delta K$. Net iş pozitifse cisim hızlanır, negatifse yavaşlar, sıfırsa sürati değişmez.
3. Güç, işin ne kadar hızlı yapıldığıdır: $P = W/\Delta t = Fv$.
4. Hızı formüle koymadan önce m/s’ye çevir. Kare alındığı için hata büyür.

Kinetik enerji

Hareket eden bir cismin hareketinden dolayı sahip olduğu enerjiye kinetik enerji (kinetic energy) denir:

$K = \tfrac12 mv^2 \qquad [K] = \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}^2 = \text{J}$

Hızın karesiyle büyüdüğü için yön önemli değil. $+5$ m/s ve $-5$ m/s ile giden aynı cismin kinetik enerjisi aynıdır.

Çözümlü örnek 1. 60.0 g’lık bir mermi 300 m/s ile gidiyor.

$K = \tfrac12(0.0600\ \text{kg})(300\ \text{m/s})^2 = 2.70\times10^3\ \text{J}$

Gramı kilograma çevirmeyen biri 1000 kat büyük sonuç bulur. Şıklarda bu sayı genelde bekliyor olur.

İş-kinetik enerji teoremi

Sabit net kuvvetle $d$ kadar giden bir cisim için $F_{net} = ma$ ve $v_f^2 = v_i^2 + 2ad$. İkisini birleştir:

$F_{net}\,d = ma\,d = \tfrac12 m(v_f^2 - v_i^2)$

Sonuç değişken kuvvetlerde de geçerlidir:

$\boxed{W_{net} = K_f - K_i = \Delta K}$

Burada $W_{net}$, cisme etki eden bütün kuvvetlerin işlerinin toplamıdır: uygulanan kuvvet, sürtünme, yerçekimi, yay, hepsi işaretiyle.

Çözüm yöntemi

1. Serbest cisim diyagramı çiz, kuvvetleri listele.
2. Her kuvvetin işini bul (W = F d cos theta; dik olanlar 0).
3. Topla: W_net.
4. ½ m vf² - ½ m vi² = W_net yaz, bilinmeyeni çek.

Çözümlü örnek 2. 4.00 kg’lık bir kutu yatay zeminde 3.00 m/s ile kayıyor. Hareket yönünde 25.0 N’luk yatay bir kuvvet 5.00 m boyunca uygulanıyor. $\mu_k = 0.300$. Kutunun son hızı?

Uygulanan kuvvetin işi:  W_F = 25.0 · 5.00 = 125 J
Sürtünme: f = 0.300 · 4.00 · 9.80 = 11.76 N
          W_f = -11.76 · 5.00 = -58.8 J
N ve mg: harekete dik → 0
W_net = 125 - 58.8 = 66.2 J
½ (4.00) vf² = ½ (4.00)(3.00)² + 66.2 = 18.0 + 66.2 = 84.2 J
vf² = 42.1  →  vf = 6.49 m/s

TUZAK · başlangıç kinetik enerjisini unutmak. Cisim durgun başlamıyorsa $K_i \neq 0$. "$\tfrac12 mv_f^2 = W_{net}$" yazan, örnekte 5.75 m/s bulur. Teorem bir değişim söyler.

Fren mesafesi

Kayan araba için tek iş yapan kuvvet sürtünme: $-\mu_k mg\,d = 0 - \tfrac12 mv^2$. Buradan:

$d = \frac{v^2}{2\mu_k g}$

Kütle sadeleşir. Hız iki katına çıkarsa mesafe dört katına çıkar. Bu, trafikte hız sınırlarının neden önemli olduğunun fizikteki karşılığı.

Net iş sıfır, ama kuvvetler çalışıyor

Bir kutuyu sabit hızla yukarı kaldırdığında senin yaptığın iş $+mgh$, yerçekiminin işi $-mgh$. Net iş sıfır, kinetik enerji değişmiyor. Bu, “hiç iş yapılmadı” demek değil. Her kuvvetin ayrı işi vardır ve soru hangisini sorduğunu söyler: “work done by you”, “work done by gravity” ya da “net work”. Şıklarda bu üç sayı yan yana durur. Soru kökündeki kuvvetin adının altını çiz.

İPUCU · kinematik mi enerji mi? Soruda süre geçmiyorsa ve sorulmuyorsa iş-enerji teoremi genelde en kısa yoldur. Süre sorulursa kinematiğe dön ($v = v_0 + at$).

Güç

Aynı işi 2 saniyede yapan motor, 20 saniyede yapandan daha güçlüdür. Güç (power), birim zamanda yapılan iştir:

$P_{avg} = \frac{W}{\Delta t} \qquad P = \frac{dW}{dt} \qquad [P] = \text{J/s} = \text{W (watt)}$

Sabit kuvvetle $dW = F\,dx\cos\theta$ olduğu için anlık güç (instantaneous power):

$P = Fv\cos\theta = \vec F\cdot\vec v$

Pratik birimler: $1\ \text{hp} = 746\ \text{W}$, $1\ \text{kWh} = (1000\ \text{W})(3600\ \text{s}) = 3.6\times10^6\ \text{J}$. kWh bir enerji birimidir, güç değil.

Çözümlü örnek 3. 800 kg’lık asansör yukarı doğru sabit 3.00 m/s ile çıkıyor (sürtünme yok). Motorun gücü?

Sabit hız → a = 0 → kablo kuvveti T = mg = 800 · 9.80 = 7840 N
P = T v = 7840 · 3.00 = 2.35 × 10⁴ W = 23.5 kW

TUZAK · sabit hızda güç sıfır değil. Sabit hızda net iş sıfır, kinetik enerji değişmiyor. Ama motor, yerçekiminin (ya da sürtünmenin) aldığı enerjiyi sürekli yerine koyuyor. Motorun gücü $F_{motor}\cdot v$ ile hesaplanır.

Göreli kinetik enerji (kısa not)

$\tfrac12 mv^2$ ışık hızına ($c = 3.00\times10^8$ m/s) yaklaşan cisimlerde yanlış sonuç verir. Özel görelilikte (relativistic kinetic energy):

$K = (\gamma - 1)mc^2 \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

$mc^2$ durgun enerjidir (rest energy), $\gamma mc^2$ toplam enerjidir.

Çözümlü örnek 4. $v = 0.800c$ için $\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.640} = 1.667$. $K = 0.667\,mc^2$. Klasik formül $\tfrac12 m(0.8c)^2 = 0.320\,mc^2$ verirdi: yarısından az. Düşük hızlarda ($v \ll c$) iki formül aynı sonucu verir, günlük problemlerde $\tfrac12 mv^2$ kullanmaya devam.

Karışık sınav örnekleri

Çözümlü örnek 5 (yokuşta güç). 1200 kg’lık araba $5.00^\circ$‘lik bir yokuşu sabit 20.0 m/s ile çıkıyor. Hava ve yuvarlanma direnci toplam 500 N. Motorun tekerleklere verdiği güç?

Sabit hız → eğim boyunca net kuvvet 0
F_motor = m g sin5 + F_direnç = 1200·9.80·0.0872 + 500
        = 1025 + 500 = 1525 N
P = F_motor · v = 1525 · 20.0 = 3.05 × 10⁴ W = 30.5 kW
Düz yolda olsaydı: P = 500 · 20.0 = 10.0 kW

Yokuş gücü üç katına çıkardı. Gücün büyük kısmı yerçekimine karşı iş yapmaya gidiyor, yani arabanın potansiyel enerjisini artırıyor (12. hafta).

Çözümlü örnek 6 (iki yöntemi karşılaştır). 12.0 m/s ile giden bir cisim sabit $3.00\ \text{m/s}^2$ ile yavaşlıyor. Durana kadar ne kadar yol alır?

Kinematik:   0 = 12.0² - 2·3.00·d   →  d = 24.0 m
İş-enerji:   -m·3.00·d = 0 - ½ m 12.0²  →  d = 144/6.00 = 24.0 m

İki yol aynı cevabı verir, çünkü iş-enerji teoremi zaten $F = ma$ ile $v^2 = v_0^2 + 2a\Delta x$‘in birleşimidir. Enerji yönteminin asıl üstünlüğü, kuvvet sabit olmadığında (yay, değişken kuvvet) ya da yol eğri olduğunda ortaya çıkar. Orada kinematik formüller çalışmaz, iş-enerji çalışır.

Sık yapılan hatalar