İş: sabit ve değişken kuvvet

Enerji bölümü bu kavramla açılır. İş (work), bir kuvvetin bir cismi yer değiştirirken ona aktardığı enerjidir. Kuvvet var ama cisim hareket etmiyorsa iş yoktur. Cisim hareket ediyor ama kuvvet harekete dikse yine iş yoktur. Sınavda bu bölümden çıkan sorular genelde dört tiptir: açılı kuvvetin işi, skaler çarpımla iş, grafik altındaki alan ve yay işi.

Önce şu dört kuralı bil:

1. Sadece yer değiştirme yönündeki bileşen iş yapar. $W = Fd\cos\theta$.
2. İş skalerdir, işareti vardır: pozitif, negatif ya da sıfır. Yönü yoktur.
3. Kuvvet değişiyorsa iş, F-x grafiğinin altındaki alandır: $W = \int F\,dx$.
4. Yay işi $\tfrac12 kx^2$‘dir, $kx \cdot x$ değil. Çünkü yay kuvveti uzadıkça artar.

Sabit kuvvetin işi

Bir cisme sabit bir $\vec F$ kuvveti uygulanıyor ve cisim $\vec d$ kadar yer değiştiriyor. Aralarındaki açı $\theta$ ise:

$W = Fd\cos\theta \qquad [W] = \text{N}\cdot\text{m} = \text{J (joule)}$

$F\cos\theta$, kuvvetin hareket yönündeki bileşenidir. Dik bileşen $F\sin\theta$ cismi kaldırmaya ya da bastırmaya çalışır ama o yönde hareket olmadığı için iş yapmaz.

Pozitif iş cisme enerji verir (hızlandırmaya çalışır), negatif iş cisimden enerji alır (yavaşlatmaya çalışır).

TUZAK · iş ve “yorulmak” aynı şey değil. Elinde 20 kg’lık çantayla yatay yürüyorsan, elinin çantaya uyguladığı kuvvet (yukarı) yer değiştirmeye (yatay) diktir. Fizikteki iş sıfırdır. Duvarı itip kımıldatamıyorsan da iş sıfırdır.

Net iş

Cisme birden fazla kuvvet etki ediyorsa her kuvvetin işini ayrı hesaplayıp toplarsın. Aynı sonuç, net kuvvetin işinden de çıkar:

$W_{net} = \sum W_i = F_{net}\, d\cos\theta$

Çözümlü örnek 1. 15.0 kg’lık bir sandık, yatayla $30.0^\circ$ yukarı açı yapan 50.0 N’luk bir iple 12.0 m çekiliyor. $\mu_k = 0.200$. Her kuvvetin işini ve net işi bul.

İpin işi:      W_F = F d cos30 = 50.0 · 12.0 · 0.866 = 520 J
Normal kuvvet: dikey denge  N + F sin30 - mg = 0
               N = 15.0·9.80 - 50.0·0.500 = 147 - 25.0 = 122 N
Sürtünme:      f = mu_k N = 0.200 · 122 = 24.4 N
               W_f = -f d = -24.4 · 12.0 = -293 J
Yerçekimi, N:  harekete dik → 0 J
Net iş:        520 - 293 = 227 J

Yukarı açılı çekme cismi hafifletir, $N$ küçülür, sürtünme azalır. $N = mg$ alırsan sürtünmeyi fazla bulursun.

Skaler çarpım ile iş

Kuvvet ve yer değiştirme bileşenleriyle verildiyse açıyı bulmaya gerek yok. İş, iki vektörün skaler çarpımıdır (scalar product, dot product):

$W = \vec F\cdot\vec d = F_xd_x + F_yd_y + F_zd_z$

Bu, 2. haftadaki nokta çarpımın ta kendisi. Birim vektör kuralları: $\hat i\cdot\hat i = 1$, $\hat i\cdot\hat j = 0$.

Çözümlü örnek 2. $\vec F = (5\hat i + 2\hat j)\ \text{N}$, $\vec d = (3\hat i - 4\hat j)\ \text{m}$. İş ve açı?

$W = (5)(3) + (2)(-4) = 15 - 8 = 7\ \text{J}$

$\cos\theta = \frac{W}{|\vec F||\vec d|} = \frac{7}{\sqrt{29}\cdot 5} = 0.260 \;\Rightarrow\; \theta = 74.9^\circ$

TUZAK · eksi bileşenler. $(2)(-4)$ terimindeki eksiyi atan $W = 23$ J bulur. Çarpım yaparken her bileşeni işaretiyle yaz.

Değişken kuvvetin işi

Kuvvet konuma göre değişiyorsa $W = Fd$ kullanamazsın. Yolu çok küçük $\Delta x$ parçalarına böl, her parçada kuvvet neredeyse sabit, işleri topla. Limitte bu bir integral olur:

$W = \int_{x_i}^{x_f} F_x(x)\,dx = \text{F-x grafiğinin altındaki alan}$

Sınavda iki biçimde gelir:

• Formül verilir: integrali al. $F = 2x + 1$ ise $x = 1$‘den $3$‘e: $W = \left[x^2 + x\right]_1^3 = 12 - 2 = 10\ \text{J}$.
• Grafik verilir: alanı üçgen, dikdörtgen, yamuk parçalarına böl. Eksen altındaki alan negatif iştir.

İPUCU · birimleri kontrol et. Grafikte F newton, x metre ise alan doğrudan joule. x santimetre ise alanı 100’e böl.

Yay kuvveti ve Hooke yasası

İdeal bir yayı denge konumundan $x$ kadar gerer ya da sıkıştırırsan yay seni geri çeker. Hooke yasası (Hooke’s law):

$F_s = -kx$

$k$ yay sabiti (spring constant), birimi N/m. Sert yayın $k$‘sı büyük. Eksi işaret, kuvvetin her zaman denge konumuna doğru olduğunu söyler: gerersen geri çeker, sıkıştırırsan iter.

Kuvvet $x$ ile doğrusal arttığı için F-x grafiği bir doğrudur ve altındaki alan bir üçgendir:

$W_{\text{dış}} = \int_0^x kx'\,dx' = \tfrac12 kx^2$

Bu, yayı germek için senin yaptığın iştir. Yayın kendi kuvvetinin işi bunun eksisidir (yay hareketine karşı koyar). Genel aralık için:

$W_{\text{dış}} = \tfrac12 k\left(x_f^2 - x_i^2\right) \qquad W_{\text{yay}} = -\tfrac12 k\left(x_f^2 - x_i^2\right)$

Çözümlü örnek 3. $k = 300\ \text{N/m}$ bir yay zaten 4.00 cm gerili. 10.0 cm’ye kadar germek için gereken iş?

x_i = 0.0400 m, x_f = 0.100 m   (önce metreye çevir)
W = ½ k (x_f² - x_i²) = ½ · 300 · (0.0100 - 0.00160)
W = 150 · 0.00840 = 1.26 J
Yayın yaptığı iş: -1.26 J

TUZAK · $\tfrac12 k(\Delta x)^2$ yanlış. Yay zaten gerili iken $\tfrac12 k(0.06)^2$ yazarsan yayın baştan gerildiğini varsaymış olursun. Kareleri ayrı ayrı al, sonra çıkar: $x_f^2 - x_i^2$, $(x_f - x_i)^2$ değil.

Yay sabitini ölçmek

Bir yaya $m$ kütlesi asılır ve yay $x$ kadar uzayıp dengede kalırsa, yay kuvveti ağırlığı dengeler: $kx = mg$, $k = mg/x$. Lab sorularında bu sık çıkar. Uzama santimetre verilir; metreye çevirmeyi unutma.

Hangi durumda hangi yöntem

Karışık sınav örnekleri

Çözümlü örnek 4 (eğik düzlem). 3.00 kg’lık blok, eğim boyunca yukarı yönelmiş 40.0 N’luk bir kuvvetle $20.0^\circ$‘lik bir eğik düzlemde 5.00 m yukarı çekiliyor. $\mu_k = 0.150$. Her kuvvetin işi ve net iş?

Önce serbest cisim diyagramı: çekme kuvveti $F$ (yukarı, eğim boyunca), ağırlık $mg$ (düşey aşağı), normal kuvvet $N$ (yüzeye dik), sürtünme $f_k$ (aşağı, eğim boyunca, çünkü blok yukarı kayıyor).

Çekme:      W_F = 40.0 · 5.00 = 200 J               (theta = 0)
Yerçekimi:  W_g = -m g d sin20 = -3.00·9.80·5.00·0.342 = -50.3 J
            (yükselme h = d sin20 = 1.71 m, W_g = -m g h)
Normal:     N = m g cos20 = 27.6 N,  W_N = 0        (dik)
Sürtünme:   W_f = -0.150 · 27.6 · 5.00 = -20.7 J
Net iş:     200 - 50.3 - 20.7 = 129 J

Yerçekiminin işini iki yoldan bulabilirsin. Ya ağırlığın eğim boyunca bileşenini ($mg\sin\theta$) yol ile çarparsın ya da ağırlığı düşey yükselme ile çarparsın. İkisi aynı sonucu verir. Bu, 12. haftada göreceğin “yerçekiminin işi yoldan bağımsızdır” fikrinin ilk işareti.

Çözümlü örnek 5 (eksen altına inen grafik). Bir kuvvet $x = 0$‘dan $2.00$ m’ye kadar sabit $+6.00$ N, sonra doğrusal olarak azalıp $x = 4.00$ m’de $-6.00$ N oluyor ve $x = 5.00$ m’ye kadar $-6.00$ N kalıyor. 0 ile 5.00 m arası toplam iş?

0-2 m   dikdörtgen:  6.00 · 2.00          = +12.0 J
2-3 m   üçgen (üstte): ½ · 1.00 · 6.00    =  +3.0 J   (x = 3'te F = 0)
3-4 m   üçgen (altta): ½ · 1.00 · (-6.00) =  -3.0 J
4-5 m   dikdörtgen:  1.00 · (-6.00)       =  -6.0 J
Toplam:                                      +6.0 J

Kuvvetin sıfırı kestiği noktayı bulmak şart. Bütün alanları pozitif toplayan 24 J bulur.

İPUCU · sınavda bu konunun yeri. İş soruları genelde enerji sorusunun ilk adımıdır. “Hız ne olur?” diye biten bir soruda bile önce her kuvvetin işini doğru yazman gerekir. 11. haftadaki iş-enerji teoremi bu hesabın üstüne kurulur.

Sık yapılan hatalar