Ters dönüşüm: trigonometrik yerine koyma

Yerine koymada (12. hafta) $u=g(x)$ diyerek yeni bir değişken tanımlıyordun. Ters dönüşümde (inverse substitution) tersini yaparsın: $x$‘i yeni bir değişkenin fonksiyonu olarak yazarsın, $x=g(\theta)$. Neden? Çünkü $\sqrt{a^2-x^2}$ gibi kökler, $x=a\sin\theta$ konunca $\sqrt{a^2\cos^2\theta}=a\cos\theta$ olur ve kök kaybolur. Bu, trigonometrik özdeşliklerin ($1-\sin^2=\cos^2$, $1+\tan^2=\sec^2$, $\sec^2-1=\tan^2$) integralde kullanılması. Final sınavlarında genelde bir tane gelir. Akılda tut:

1. Kökün içindeki biçim, dönüşümü belirler. Üç tip var, ezber.
2. $dx$‘i de dönüştür. $x=a\sin\theta$ ise $dx=a\cos\theta\,d\theta$.
3. Sonucu $x$‘e geri çevirmek için üçgen çiz.
4. Önce basit yerine koyma dene. Kökün dışında içinin türevi varsa trigonometriye gerek yok.

Üç temel dönüşüm

$\theta$‘yı ters trigonometrik fonksiyonun değer aralığından seçtiğin için (sinüs için $[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2]$) $\cos\theta\ge0$ olur ve karekökten mutlak değersiz çıkar.

Sinüs dönüşümü: $\sqrt{a^2-x^2}$

Örnek 1. $\displaystyle\int\sqrt{9-x^2}\,dx$.

x = 3 sin θ,   dx = 3 cos θ dθ,   sqrt(9 - x^2) = 3 cos θ
∫ 3 cos θ · 3 cos θ dθ = 9 ∫ cos^2 θ dθ
                       = 9 (θ/2 + sin 2θ / 4)
                       = (9/2) θ + (9/2) sin θ cos θ

Şimdi $x$‘e dön. $\sin\theta=\tfrac x3$ olan dik üçgen çiz: karşı kenar $x$, hipotenüs $3$, komşu kenar $\sqrt{9-x^2}$. Buradan $\cos\theta=\tfrac{\sqrt{9-x^2}}{3}$ ve $\theta=\arcsin\tfrac x3$.

$\int\sqrt{9-x^2}\,dx=\frac92\arcsin\frac x3+\frac x2\sqrt{9-x^2}+C$

Kontrol: $\int_0^3\sqrt{9-x^2}\,dx$ çeyrek çemberin alanı, $\tfrac{9\pi}{4}$. Formülden: $\tfrac92\cdot\tfrac\pi2+0-0=\tfrac{9\pi}{4}$. Tutuyor.

TUZAK · $\sin2\theta$‘yı geri çevirmeden bırakmak. Cevapta $\theta$ ya da $\sin2\theta$ kalırsa eksik sayılır. Önce $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ yaz, sonra üçgenden $x$ cinsine geç.

Tanjant dönüşümü: $\sqrt{a^2+x^2}$

Örnek 2. $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+4}}$.

$x=2\tan\theta$, $dx=2\sec^2\theta\,d\theta$, $\sqrt{x^2+4}=2\sec\theta$.

$\int\frac{2\sec^2\theta}{2\sec\theta}d\theta=\int\sec\theta\,d\theta=\ln|\sec\theta+\tan\theta|+C$

Üçgen: $\tan\theta=\tfrac x2$ (karşı $x$, komşu $2$), hipotenüs $\sqrt{x^2+4}$, $\sec\theta=\tfrac{\sqrt{x^2+4}}{2}$.

$\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}+x}{2}\right|+C=\ln\left(x+\sqrt{x^2+4}\right)+C'$

$-\ln2$ sabite katıldı. 7. haftada $\ln(x+\sqrt{x^2+1})$‘in türevinin $\tfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ olduğunu görmüştün; bu onun genel hali.

Sekant dönüşümü: $\sqrt{x^2-a^2}$

Örnek 3. $\displaystyle\int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-1}}$, $x>1$.

$x=\sec\theta$, $dx=\sec\theta\tan\theta\,d\theta$, $\sqrt{x^2-1}=\tan\theta$.

$\int\frac{\sec\theta\tan\theta}{\sec^2\theta\tan\theta}d\theta=\int\cos\theta\,d\theta=\sin\theta+C$

Üçgen: $\sec\theta=\tfrac x1$, yani hipotenüs $x$, komşu $1$, karşı $\sqrt{x^2-1}$. $\sin\theta=\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x}$.

$\int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-1}}=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}+C$

Belirli integralde ters dönüşüm

Belirli integralde $x$‘e geri dönmek zorunda değilsin: sınırları $\theta$‘ya çevirirsen üçgen çizmeden bitirirsin. $x=a\sin\theta$ için $\theta=\arcsin\tfrac xa$, $x=a\tan\theta$ için $\theta=\arctan\tfrac xa$. Her sınırı bu formülle çevir.

Örnek 3b. $\displaystyle\int_0^{\sqrt3}\frac{dx}{(1+x^2)^2}$.

x = tan θ,  dx = sec^2 θ dθ,  (1 + x^2)^2 = sec^4 θ
x = 0   -> θ = 0          x = √3 -> θ = arctan √3 = π/3
∫_0^(π/3) sec^2 θ / sec^4 θ dθ = ∫_0^(π/3) cos^2 θ dθ
  = [θ/2 + sin 2θ / 4]_0^(π/3) = π/6 + (√3/2)/4 = π/6 + √3/8 ≈ 0.740

Burada kök yok ama $1+x^2$‘nin kuvveti var; tanjant dönüşümü yine işe yarıyor. Kural kökle sınırlı değil: $a^2\pm x^2$ ya da $x^2-a^2$ ifadesinin kendisi ya da kuvveti integrand’ı zorlaştırıyorsa dönüşümü düşün.

Neden işe yarıyor, neden geri dönüyoruz?

Ters dönüşümde aslında $\theta=\arcsin\tfrac xa$ fonksiyonuyla değişken değiştiriyorsun. Bu fonksiyon seçilen aralıkta birebir olduğu için dönüşüm geri alınabilir ve integral değişmez. $\theta$‘nın aralığını ($[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2]$, sekant için $[0,\tfrac\pi2)$) bilmek, kökten çıkan $\cos\theta$ ya da $\tan\theta$‘nın işaretini belirler. Bu yüzden Örnek 3 ve Soru 6, 7’de "$x>1$" gibi bir koşul var: sekantın değeri pozitif olsun, $\tan\theta\ge0$ olsun.

Kareye tamamlama

$\sqrt{ax^2+bx+c}$ ya da $\dfrac{1}{ax^2+bx+c}$ görürsen önce kareye tamamla, sonra yukarıdaki üç tipten birine indir.

Örnek 4. $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+5}}$.

$x^2+2x+5=(x+1)^2+4$. $u=x+1$ ile Örnek 2’nin formuna geldi:

$\int\frac{du}{\sqrt{u^2+4}}=\ln\left(u+\sqrt{u^2+4}\right)+C=\ln\left(x+1+\sqrt{x^2+2x+5}\right)+C$

Baş katsayı negatifse ($5+4x-x^2$) önce eksiyi dışarı al: $-(x^2-4x)+5=-(x-2)^2+4+5=9-(x-2)^2$. Bu, sinüs tipi.

Cebirsel ters dönüşüm

Adams’ta “inverse substitution” sadece trigonometrik değil. Kökten kurtulmak için $x$‘i bir kuvvet olarak yazmak da aynı fikir.

Örnek 5. $\displaystyle\int\frac{\sqrt x}{1+x}\,dx$. $x=u^2$, $dx=2u\,du$:

$\int\frac{u\cdot2u}{1+u^2}du=2\int\frac{u^2}{1+u^2}du=2\int\left(1-\frac{1}{1+u^2}\right)du=2u-2\arctan u+C$

$u=\sqrt x$: $2\sqrt x-2\arctan\sqrt x+C$. Rasyonel hale gelen integrand’da pay derecesi paydaya eşit olduğu için önce böldük (13. hafta).

Hangi yöntem? Karar tablosu

integrand'da kök var mı?
 ├─ kökün dışında içinin türevi (sabit çarpanla) var  -> u = kök içi (basit)
 ├─ a^2 - x^2                                        -> x = a sin θ
 ├─ a^2 + x^2                                        -> x = a tan θ
 ├─ x^2 - a^2                                        -> x = a sec θ
 ├─ ax^2 + bx + c                                    -> kareye tamamla, sonra üstteki üçü
 └─ √x, ∛x                                           -> x = u^2, u^3

TUZAK · gereksiz trigonometrik dönüşüm. $\displaystyle\int\frac{x\,dx}{\sqrt{x^2+9}}$ için $x=3\tan\theta$ işe yarar ama dört satır sürer. $u=x^2+9$ ile tek satırda $\sqrt{x^2+9}+C$. Sınavda zaman kazandıran, önce basit yolu görmek.

Sık yapılan hatalar