Kısmi integrasyon ve basit kesirlere ayırma

12. haftada yerine koyma, zincir kuralının tersiydi. Bu hafta iki yeni teknik var. Kısmi integrasyon (integration by parts), çarpım kuralının tersi; $x\,e^x$, $x\sin x$, $\ln x$ gibi integralleri çözer. Basit kesirlere ayırma (partial fractions), rasyonel bir fonksiyonu integrali kolay parçalara böler. Finalde ikisinden de uzun ama mekanik sorular gelir; doğru başlangıcı seçen sonucu getirir:

13. $\int u\,dv=uv-\int v\,du$. $u$‘yu LIATE sırasıyla seç.

14. Kısmi integrasyondan sonra kalan integral daha kolay olmalı. Zorlaştıysa $u$‘yu ters seçmişsindir.

15. Rasyonel fonksiyonda önce derecelere bak: pay büyük ya da eşitse önce böl.

16. Paydanın çarpan tipi, kesirlerin şeklini belirler.

Kısmi integrasyon (integration by parts)

Çarpım kuralı: $(uv)'=u'v+uv'$. İki tarafın integralini al ve düzenle:

$\int u\,dv=uv-\int v\,du$

Belirli integralde:

$\int_a^bu\,dv=\Big[uv\Big]_a^b-\int_a^bv\,du$

Fikir: integrand’ı iki parçaya ayır. $u$ türevlenince basitleşen, $dv$ integrali alınabilen parça olsun.

$u$ seçimi: LIATE

Listede önce gelen $u$ olur:

Örnek 1. $\displaystyle\int x\sin x\,dx$. A, T’den önce: $u=x$, $dv=\sin x\,dx$.

u = x          dv = sin x dx
du = dx        v = -cos x
∫ x sin x dx = -x cos x - ∫ (-cos x) dx = -x cos x + sin x + C

Ters seçseydin ($u=\sin x$, $dv=x\,dx$) kalan integral $\int\tfrac{x^2}{2}\cos x\,dx$ olurdu, daha zor.

Örnek 2. $\displaystyle\int x^2\ln x\,dx$. L, A’dan önce: $u=\ln x$, $dv=x^2dx$, $v=\tfrac{x^3}{3}$.

$\int x^2\ln x\,dx=\frac{x^3}{3}\ln x-\int\frac{x^3}{3}\cdot\frac1x\,dx=\frac{x^3\ln x}{3}-\frac{x^3}{9}+C$

$\ln x$‘in integralini almak zor, türevi kolay. Bu yüzden logaritma hep $u$ olur.

Tablo yöntemi (tabular integration)

$x^n$ çarpı $e^{ax}$, $\sin ax$ ya da $\cos ax$ için kısmi integrasyonu $n$ kez yapman gerekir. Tablo bunu hızlandırır: sol sütunda $u$‘yu sıfır olana kadar türevle, sağ sütunda $dv$‘yi tekrar tekrar integralle, çapraz çarp, işaretleri $+,-,+,-$ değiştir.

Örnek 3. $\displaystyle\int x^3e^x\,dx$.

türev        integral     işaret
x^3          e^x
3x^2         e^x            +   ->  x^3 e^x
6x           e^x            -   ->  3x^2 e^x
6            e^x            +   ->  6x e^x
0            e^x            -   ->  6 e^x
sonuç: e^x (x^3 - 3x^2 + 6x - 6) + C

Döngüsel integraller

$e^{ax}\sin bx$ ya da $e^{ax}\cos bx$ için iki kez kısmi integrasyon yapınca başladığın integral geri gelir. O zaman integrali $I$ diye adlandırıp denklem çöz.

Örnek 4. $I=\displaystyle\int e^{2x}\cos x\,dx$.

İlk adım: $u=e^{2x}$, $dv=\cos x\,dx$. $I=e^{2x}\sin x-2\int e^{2x}\sin x\,dx$.

İkinci adım (aynı seçim mantığı, $u=e^{2x}$): $\int e^{2x}\sin x\,dx=-e^{2x}\cos x+2I$.

Birleştir: $I=e^{2x}\sin x-2(-e^{2x}\cos x+2I)=e^{2x}\sin x+2e^{2x}\cos x-4I$. Yani $5I=e^{2x}(\sin x+2\cos x)$:

$I=\frac{e^{2x}(2\cos x+\sin x)}{5}+C$

TUZAK · ikinci adımda $u$‘yu değiştirmek. Döngüsel integralde ilk adımda $u=e^{2x}$ seçtiysen ikinci adımda da üstel kısmı $u$ yap. Değiştirirsen ilk adımı geri alırsın ve $I=I$ elde edersin.

Örnek 5 (belirli). $\displaystyle\int_0^1xe^x\,dx=\Big[xe^x\Big]_0^1-\int_0^1e^x\,dx=e-(e-1)=1$.

Basit kesirlere ayırma (partial fractions)

$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ biçiminde, $P$ ve $Q$ polinom. Strateji: kesri, paydaları $Q$‘nun çarpanları olan basit kesirlerin toplamı olarak yaz. Her parçanın integrali $\ln$ ya da $\arctan$ verir.

Adım 0: derece kontrolü

Payın derecesi paydanınkinden büyük ya da eşitse önce polinom bölmesi yap: $\dfrac PQ=(\text{bölüm})+\dfrac{\text{kalan}}{Q}$. Ayrıştırma sadece kalan kesre uygulanır.

Çarpan tipleri

Katsayıları bulmak için iki tarafı paydayla çarp. Sonra paydanın köklerini yerine koy (her kök bir katsayıyı direkt verir), kalan katsayılar için $x^2$, sabit terim gibi katsayıları eşitle.

Örnek 6 (farklı doğrusal çarpanlar). $\displaystyle\int\frac{3x-1}{x^2-x-2}\,dx$.

x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)
(3x - 1) = A(x + 1) + B(x - 2)
x = 2:   5 = 3A   ->  A = 5/3
x = -1: -4 = -3B  ->  B = 4/3
∫ = (5/3) ln|x - 2| + (4/3) ln|x + 1| + C

Örnek 7 (tekrarlı çarpan). $\displaystyle\int\frac{2x+3}{(x+1)^2}\,dx$.

$2x+3=A(x+1)+B$. $x=-1$: $B=1$. $x$ katsayısı: $A=2$. Yani $\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{1}{(x+1)^2}$, integral $2\ln|x+1|-\dfrac{1}{x+1}+C$.

Örnek 8 (ayrılmaz ikinci derece). $\displaystyle\int\frac{x^2+2x+3}{x(x^2+1)}\,dx$.

$x^2+2x+3=A(x^2+1)+(Bx+C)x$. $x=0$: $A=3$. $x^2$: $1=A+B \Rightarrow B=-2$. $x$: $2=C$. Kesirler $\dfrac3x+\dfrac{-2x+2}{x^2+1}$:

$\int=3\ln|x|-\ln(x^2+1)+2\arctan x+C$

$\dfrac{-2x}{x^2+1}$ kısmı yerine koymayla ($u=x^2+1$) $-\ln(x^2+1)$, $\dfrac{2}{x^2+1}$ kısmı $2\arctan x$ verdi.

TUZAK · ayrılmaz çarpanın payına sadece sabit yazmak. $\dfrac{C}{x^2+1}$ yazarsan denklem tutmaz. İkinci derece çarpanın payı her zaman $Bx+C$.

İPUCU · paydayı kareye tamamla. Ayrılmaz $x^2+bx+c$ için $\left(x+\tfrac b2\right)^2+k^2$ yaz. $\displaystyle\int\frac{dx}{u^2+k^2}=\frac1k\arctan\frac uk+C$.

Sık yapılan hatalar