Toplamların limiti olarak alan, belirli integral ve ters türev

Şimdiye kadar türevle uğraştın: bir fonksiyonun ne hızla değiştiğini sordun. Bu hafta ters soruyu soruyorsun: değişim hızı biliniyorsa toplam değişim ne kadar? Geometrik karşılığı eğri altındaki alan. Alanı dikdörtgenlerle yaklaşık hesaplarsın (Riemann toplamı), dikdörtgen sayısını sonsuza götürürsün (limit) ve belirli integral (definite integral) elde edersin. Haftanın ikinci yarısı ters türev (antiderivative): türevi verilen fonksiyonu bulmak. Gelecek hafta Analizin Temel Teoremi bu ikisini birbirine bağlayacak. Bu hafta için:

1. Sigma formüllerini ezberle. $\sum i$, $\sum i^2$, $\sum i^3$.
2. Riemann toplamı: $\Delta x=\tfrac{b-a}{n}$, uç noktaları doğru seç, $f(x_i)\Delta x$‘leri topla.
3. Belirli integral işaretli alandır. Eksenin altı negatif sayılır.
4. Ters türev tablosu, türev tablosunun tersten okunmuşudur.
5. Belirsiz integralde $+C$ şart.

Sigma notasyonu

$\sum_{i=1}^{n}a_i=a_1+a_2+\cdots+a_n$

Kurallar: $\sum(a_i\pm b_i)=\sum a_i\pm\sum b_i$, $\sum ca_i=c\sum a_i$, $\sum_{i=1}^nc=nc$. Çarpımın toplamı ise parçalanmaz: $\sum a_ib_i\ne\left(\sum a_i\right)\left(\sum b_i\right)$.

$\sum_{i=1}^ni=\frac{n(n+1)}{2},\qquad \sum_{i=1}^ni^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\qquad \sum_{i=1}^ni^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$

Örnek 1. $\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(2i^2-i)=2\cdot\frac{10\cdot11\cdot21}{6}-\frac{10\cdot11}{2}=2\cdot385-55=715$.

Riemann toplamları

$[a,b]$ aralığını $n$ eşit parçaya böl: her parçanın genişliği $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$. Her parçanın üstüne bir dikdörtgen koy; yüksekliği parçanın içinden seçilen bir noktadaki $f$ değeri. Dikdörtgen alanlarının toplamı:

$\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\,\Delta x$

Noktayı nereden seçtiğine göre üç tür:

Örnek 2. $f(x)=4-x^2$, $[0,2]$, $n=4$. $\Delta x=0.5$.

x:      0      0.5     1      1.5     2
f(x):   4      3.75    3      1.75    0
L_4 = 0.5 (4 + 3.75 + 3 + 1.75) = 0.5 · 12.5 = 6.25
R_4 = 0.5 (3.75 + 3 + 1.75 + 0) = 0.5 · 8.5  = 4.25
gerçek alan = 16/3 ≈ 5.333

$f$ bu aralıkta azalan: sol uç her dikdörtgende en yüksek değeri alır, $L_4$ fazla tahmin eder. Sağ uç az tahmin eder. Gerçek değer ikisinin arasında.

Alan = toplamların limiti

$n\to\infty$ iken dikdörtgenler incelir ve toplam gerçek alana yaklaşır. Hesap için $x_i$‘yi $i$ cinsinden yaz, sigma formüllerini uygula, limiti al.

Örnek 3. $y=x^2$ altında, $[0,1]$ aralığındaki alan.

$\Delta x=\dfrac1n$, $x_i=\dfrac in$.

$R_n=\sum_{i=1}^n\left(\frac in\right)^2\frac1n=\frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^ni^2=\frac{1}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$

$\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+3n+1}{6n^2}=\frac26=\frac13$

Bu yöntem uzun ama “use the definition / limit of Riemann sums” yazan soruda zorunlu. Gelecek haftaki teoremle aynı sonuç tek satırda çıkacak.

Belirli integral (definite integral)

$\int_a^bf(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\,\Delta x$

$f$ integrand, $a$ ve $b$ sınırlar. Sürekli fonksiyonlar için bu limit her zaman vardır ve nokta seçiminden bağımsızdır.

Anlamı: işaretli alan. $f\ge0$ ise eğri altındaki alan. $f$ eksenin altına inerse o kısım negatif sayılır.

$\int_a^bf(x)\,dx=(\text{eksen üstündeki alan})-(\text{eksen altındaki alan})$

Örnek 4. $\displaystyle\int_{-1}^{3}(2x-2)\,dx$. Doğru $x=1$‘de sıfır. $[-1,1]$‘de eksen altında taban $2$, derinlik $4$ olan üçgen: $-4$. $[1,3]$‘te üstte aynı boyutta üçgen: $+4$. Integral $0$. Ama taralı toplam alan $8$.

TUZAK · integral = alan sanmak. “Find the area” sorusunda fonksiyon eksenin altına iniyorsa o kısmın mutlak değerini al: $\int|f|$. “Evaluate the integral” ise işaretli değeri ver.

Özellikler

$\int_a^af\,dx=0,\qquad \int_b^af\,dx=-\int_a^bf\,dx,\qquad \int_a^bf\,dx+\int_b^cf\,dx=\int_a^cf\,dx$

$\int_a^b\big(cf+g\big)\,dx=c\int_a^bf\,dx+\int_a^bg\,dx,\qquad \int_a^bc\,dx=c(b-a)$

Karşılaştırma: $[a,b]$‘de $f\le g$ ise $\int_a^bf\le\int_a^bg$. $m\le f\le M$ ise $m(b-a)\le\int_a^bf\le M(b-a)$.

Geometrik olarak hesaplanabilen integraller: doğrular (üçgen, yamuk), $\sqrt{r^2-x^2}$ (yarım çember), $|x-c|$ (üçgenler).

Ters türev (antiderivative)

$F'(x)=f(x)$ ise $F$, $f$‘in bir ters türevidir. MVT’nin sonucuna göre (9. hafta) $f$‘in bütün ters türevleri $F(x)+C$ şeklindedir. Bunu belirsiz integral (indefinite integral) ile yazarız:

$\int f(x)\,dx=F(x)+C$

Örnek 5. $\displaystyle\int(3x^2-4x+5)\,dx=x^3-2x^2+5x+C$.

Örnek 6 (önce aç). $\displaystyle\int\frac{(x^2+1)^2}{x^2}\,dx=\int\frac{x^4+2x^2+1}{x^2}\,dx=\int\left(x^2+2+x^{-2}\right)dx=\frac{x^3}{3}+2x-\frac1x+C$.

Çarpım ya da bölümün integrali için kural yok. Önce aç ya da böl, sonra terim terim integral al.

İPUCU · cevabını türevle kontrol et. Ters türev bulduktan sonra türevini al; integrand’ı geri elde etmelisin. Sınavda 20 saniyelik bu kontrol çoğu işaret hatasını yakalar.

Başlangıç değer problemi (initial value problem)

Türev ve bir nokta verilirse $C$ belirlenir.

Örnek 7. Bir cismin ivmesi $a(t)=6t$, $v(0)=-3$, $s(0)=2$.

v(t) = ∫ 6t dt = 3t^2 + C1,      v(0) = C1 = -3     ->  v = 3t^2 - 3
s(t) = ∫ (3t^2 - 3) dt = t^3 - 3t + C2,   s(0) = C2 = 2
s(t) = t^3 - 3t + 2

Sık yapılan hatalar