Optimizasyon, doğrusal yaklaşım ve diferansiyeller

Calculus I’in en “uygulamalı” haftası. Optimizasyon (optimization) sorusunda bir sözel durumu fonksiyona çevirir, 8. haftadaki ekstremum bilgisiyle en iyi değeri bulursun. Doğrusal yaklaşım (linear approximation) ise türevin “teğet doğrusu fonksiyona yakındır” fikrinin hesap makinesiz sayı tahmini için kullanılması. Diferansiyeller (differentials) aynı fikrin hata hesabına uygulanışı. Akılda tutulacaklar:

1. Optimizasyonda zor kısım türev değil, fonksiyonu kurmak. Amaç fonksiyonu + kısıt.
2. Kısıtı kullanarak tek değişkene in. İki değişkenli fonksiyonun türevini alamazsın.
3. Bulduğun noktanın max ya da min olduğunu göster. Uçlar ya da $f''$ testi.
4. Doğrusal yaklaşım = teğet doğrusu. $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$.
5. $dy$ teğet üzerindeki değişim, $\Delta y$ gerçek değişim.

Optimizasyon problemleri

Altı adımlı yöntem

1. Şekil çiz, değişkenleri adlandır, birimleri yaz.
2. Amaç fonksiyonu: neyi max/min yapıyorsun? (alan, hacim, maliyet, uzaklık)
3. Kısıt (constraint): değişkenleri bağlayan bilgi (çevre 600, hacim 4000...)
4. Kısıttan bir değişkeni çek, amaç fonksiyonuna koy -> tek değişkenli f(x).
5. Fiziksel anlamı olan aralığı yaz (uzunluk > 0 gibi).
6. f'(x) = 0 çöz; max/min olduğunu uçlarla ya da f'' ile doğrula.

Örnek 1 (ağıl). $600$ m çit ile dikdörtgen bir alan çevrilecek ve bir kenara paralel bir çitle iki eş bölmeye ayrılacak. Toplam alanı en büyük yap.

Bölme çiti $x$ uzunluğundaki kenarlara paralel olsun. O zaman $x$ uzunluğunda üç çit (iki dış kenar ve bölme), $y$ uzunluğunda iki çit var:

$3x+2y=600 \Rightarrow y=\frac{600-3x}{2}$

Hangi kenarı üçlü seçtiğin sonucu değiştirmez, sadece etiketler yer değiştirir. Şekli çizip çitleri tek tek saymak bu adımda hatayı önler.

$A(x)=x\cdot\frac{600-3x}{2}=300x-\frac32x^2,\qquad 0<x<200$

$A'(x)=300-3x=0 \Rightarrow x=100$. $A''=-3<0$, max. $y=\dfrac{600-300}{2}=150$. En büyük alan $100\cdot150=15000$ m².

Örnek 2 (malzeme). Tabanı kare, üstü açık, hacmi $4000$ cm³ olan kutu için en az malzeme.

taban kenarı x, yükseklik h
amaç:   S = x^2 + 4xh                 (taban + 4 yan yüz, üst yok)
kısıt:  x^2 h = 4000  ->  h = 4000 / x^2
S(x) = x^2 + 16000 / x,   x > 0
S'(x) = 2x - 16000 / x^2 = 0  ->  x^3 = 8000  ->  x = 20
S''(x) = 2 + 32000 / x^3 > 0  ->  minimum
h = 4000 / 400 = 10,   S = 400 + 800 = 1200 cm^2

Açık aralıkta ($x>0$) uç noktası yok. Tek kritik nokta ve $S''>0$ olduğu için bu yerel min aynı zamanda mutlak min. Bu cümleyi sınavda yaz.

TUZAK · max mı min mi kontrol etmemek. $f'=0$ bir aday verir. Cevabı yazmadan önce ya uç değerlerle karşılaştır ya da $f''$ işaretini göster. Örneğin tel sorusunda (Soru 12) kritik nokta minimum veriyor; maksimum uçta, telin tamamı çembere gittiğinde.

İPUCU · uzaklıkta kareyi kullan. $d=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$ yerine $d^2$‘yi minimize et. Karekök artan bir fonksiyon, en küçük $d$ ile en küçük $d^2$ aynı noktada. Türev çok daha kısa.

Doğrusal yaklaşım (linear approximation)

$f$, $a$‘da türevlenebilirse, $a$‘ya yakın $x$ için grafik teğet doğrusuna çok yakındır:

$f(x)\approx L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$

$L$‘ye $f$‘in $a$‘daki doğrusallaştırması (linearization) denir. $a$‘yı, $f(a)$ ve $f'(a)$‘yı kafadan hesaplayabileceğin ve hedef sayıya yakın bir nokta olarak seç.

Örnek 3. $\sqrt{9.2}$ tahmini. $f(x)=\sqrt x$, $a=9$: $f(9)=3$, $f'(9)=\dfrac16$.

$L(9.2)=3+\frac16(0.2)=3.0333\ldots\qquad(\text{gerçek: }3.03315\ldots)$

Sık kullanılan yaklaşımlar ($x$ sıfıra yakın, $a=0$):

Örnek 4. $(1.02)^5\approx1+5(0.02)=1.1$. Gerçek değer $1.10408$. Hata, $x=0.02$‘nin karesi mertebesinde.

Fazla mı az mı? $f''<0$ (aşağı bükük) ise grafik teğetin altında kalır, $L$ fazla tahmin eder ($\sqrt x$ için). $f''>0$ ise az tahmin eder ($e^x$ için).

Diferansiyeller (differentials)

$y=f(x)$ için $dx$ bağımsız bir değişken (küçük bir artış), ve

$dy=f'(x)\,dx$

$dy$, teğet doğrusu boyunca yükselme. Gerçek değişim ise $\Delta y=f(x+dx)-f(x)$. $dx$ küçükken $dy\approx\Delta y$.

Örnek 5. $f(x)=x^2$, $x=3$, $dx=0.1$: $dy=2x\,dx=0.6$, $\Delta y=3.1^2-9=0.61$. Fark tam $dx^2=0.01$.

Hata tahmini

Bir büyüklüğü ölçüp ondan başka bir büyüklük hesaplıyorsan, ölçüm hatası hesaplanan değere yayılır. Diferansiyel bunu tahmin eder.

Örnek 6. Bir küpün kenarı $10$ cm, ölçüm hatası $\pm0.1$ cm.

V = x^3        dV = 3x^2 dx = 3 · 100 · 0.1 = 30 cm^3     (mutlak hata)
göreli hata  = dV / V = 30 / 1000 = 0.03                (yüzde 3)
kısa yol:     dV / V = 3 · dx / x = 3 · 0.01 = 0.03

Genel kural: $Q=kx^n$ ise $\dfrac{dQ}{Q}=n\dfrac{dx}{x}$. Kuvvet ne kadar büyükse göreli hata o kadar büyür.

TUZAK · $dy$ ile $\Delta y$‘yi karıştırmak. Soru “use differentials to estimate” diyorsa $dy=f'(x)dx$ hesapla. “Find the actual change” diyorsa $f(x+\Delta x)-f(x)$ hesapla. İkisini birlikte isteyip farkı da sorabilirler.

Sık yapılan hatalar