Ters fonksiyonlar, logaritma ve trigonometrik fonksiyonlar

Bu hafta üç ayrı konu var ama hepsi tek bir fikre bağlı: bir işlemi geri almak. Logaritma üstel fonksiyonu, $\arcsin$ sinüsü geri alır. 7. haftada bu fonksiyonların türevlerini alacaksın, 12-14. haftalarda integralleri bunlarla çıkacak. Burada sağlam olmayan biri, türevi doğru alıp sonucu sadeleştiremez. Kısa liste:

1. Ters fonksiyon için $y=f(x)$ yaz, $x$‘i yalnız bırak, harfleri değiştir.
2. Tersin tanım kümesi = orijinalin değer kümesi.
3. Logaritma kuralları çarpımı toplama, üssü çarpana çevirir. Toplamı çarpıma çevirmez.
4. Log denkleminde çıkan her kökü kontrol et. Logaritmanın içi pozitif olmalı.
5. Ters trigonometrik fonksiyonlar tek bir aralıktan değer verir (principal value).

Ters fonksiyon (inverse function)

$f$ birebir (one-to-one) ise, yani farklı $x$‘ler farklı $y$‘lere gidiyorsa, tersi vardır: $f^{-1}(y)=x \iff f(x)=y$. Grafikte test: her yatay doğru grafiği en fazla bir kez keserse birebirdir (horizontal line test).

Ters fonksiyonun iki özelliği:

$f\big(f^{-1}(x)\big)=x,\qquad f^{-1}\big(f(x)\big)=x$

Grafiği, $f$‘in grafiğinin $y=x$ doğrusuna göre yansımasıdır. Tanım ve değer kümeleri yer değiştirir.

Örnek 1. $f(x)=3x-5$: $y=3x-5 \Rightarrow x=\dfrac{y+5}{3}$, yani $f^{-1}(x)=\dfrac{x+5}{3}$.

Örnek 2. $f(x)=x^3+2$: $x=\sqrt[3]{y-2}$, yani $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-2}$. Küp her yerde birebir.

$f(x)=x^2$ ise $\mathbb{R}$ üzerinde birebir değil ($f(2)=f(-2)$). Tanım kümesini $x\ge 0$ ile kısıtlarsan tersi $\sqrt{x}$ olur. Sınavda “with domain $x\ge 2$” gibi bir kısıt görürsen, $\pm$ işaretinden hangisini seçeceğini o söylüyor.

Formül bulmadan ters değer

Bazen tersin formülü çıkarılamaz ama tek bir değeri sorulur. $f(x)=x^3+x$ birebir (artan) ama $y=x^3+x$ denklemini $x$ için çözmek zor. ”$f^{-1}(2)$ nedir?” sorusu ise kolay: $f(x)=2$ yapan $x$‘i ara. Denersen $f(1)=1+1=2$, o halde $f^{-1}(2)=1$. 7. haftada ”$(f^{-1})'(a)$ bul” sorularında ilk adım hep bu.

Bir fonksiyonun birebir olduğunu göstermenin en pratik yolu artan ya da azalan olduğunu göstermek. Sürekli artan bir fonksiyon iki farklı noktada aynı değeri alamaz. Türevle artanlık testini 9. haftada göreceksin; şimdilik grafikten ya da $x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ akıl yürütmesinden bak.

TUZAK · $f^{-1}(x)\ne \dfrac{1}{f(x)}$. Üstteki $-1$ ters fonksiyon gösterimidir, kuvvet değil. $\dfrac{1}{f(x)}$ için $[f(x)]^{-1}$ yazılır.

Logaritma

$a>0$, $a\ne 1$ için:

$\log_a x=y \iff a^y=x$

Yani $\log_a x$ “$a$‘yı kaçıncı kuvvete kaldırırsam $x$ olur?” sorusunun cevabı. Doğal logaritma $\ln x=\log_e x$. Tanım kümesi $(0,\infty)$, değer kümesi $\mathbb{R}$. $\ln 1=0$, $\ln e=1$.

Örnek 3. $\log_3 54-\log_3 2=\log_3 27=3$.

Örnek 4. $\log_2(x+3)+\log_2(x-1)=5$.

log2[(x+3)(x-1)] = 5          çarpım kuralı
(x+3)(x-1) = 2^5 = 32         tanımı uygula
x^2 + 2x - 35 = 0
(x+7)(x-5) = 0   ->  x = 5 veya x = -7
x = -7: log2(-4) tanımsız     ATILIR
cevap: x = 5

Örnek 5. $3^x=7$. Tabanı 3’e eşitleyemezsin. İki tarafın $\ln$‘ini al: $x\ln 3=\ln 7$, $x=\dfrac{\ln 7}{\ln 3}\approx 1.7712$.

Örnek 5b. $e^{2x}-5e^x+6=0$. Bu bir gizli ikinci derece denklem: $u=e^x$ de, $u^2-5u+6=0$, $(u-2)(u-3)=0$. $e^x=2 \Rightarrow x=\ln 2$, $e^x=3 \Rightarrow x=\ln 3$. İki kök de geçerli, çünkü $u$ değerleri pozitif.

Genel strateji tablosu:

$\ln x$ ve $e^x$ birbirinin tersi olduğu için grafikleri $y=x$ doğrusuna göre simetrik. $e^x$‘in yatay asimptotu $y=0$ ise $\ln x$‘in dikey asimptotu $x=0$. $e^x$ $(0,1)$‘den geçiyorsa $\ln x$ $(1,0)$‘dan geçer.

TUZAK · olmayan log kuralları. $\ln(x+y)\ne \ln x+\ln y$ ve $\dfrac{\ln x}{\ln y}\ne \ln\dfrac{x}{y}$. Toplamın logaritması için kural yok.

Trigonometrik fonksiyonlar

Calculus’ta açılar hep radyan (radian) cinsinden: $180^\circ=\pi$. Birim çemberde (unit circle) $\theta$ açısının uç noktası $(\cos\theta,\sin\theta)$. Buradan:

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta},\quad \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\quad \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta},\quad \cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$

Bilmen gereken değerler

Diğer açılar için referans açı + bölge işareti kullan. Bölgelerde pozitif olanlar: I’de hepsi, II’de sin, III’te tan, IV’te cos.

Örnek 6. $\sin\tfrac{5\pi}{6}=\tfrac12$ (II. bölge, referans $\tfrac{\pi}{6}$). $\cos\tfrac{4\pi}{3}=-\tfrac12$ (III. bölge). $\tan(-\tfrac{\pi}{3})=-\sqrt3$ ($\tan$ tek fonksiyon).

Temel özdeşlikler (identities)

$\sin^2 x+\cos^2 x=1,\qquad 1+\tan^2 x=\sec^2 x$

$\sin 2x=2\sin x\cos x,\qquad \cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=1-2\sin^2 x=2\cos^2 x-1$

$\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b,\qquad \cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b$

$\cos 2x$‘in üç hali integral haftalarında hayat kurtarır: $\sin^2 x=\tfrac{1-\cos 2x}{2}$, $\cos^2 x=\tfrac{1+\cos 2x}{2}$.

Örnek 7. $[0,2\pi)$ aralığında $2\cos x+\sqrt3=0$. $\cos x=-\tfrac{\sqrt3}{2}$. Referans açı $\tfrac{\pi}{6}$, kosinüs II. ve III. bölgede negatif: $x=\pi-\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{5\pi}{6}$ ve $x=\pi+\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{7\pi}{6}$.

Ters trigonometrik fonksiyonlar

Sinüs birebir değil, o yüzden tanım kümesini bir aralığa kısıtlayıp tersini alırız. Bu aralıklar sabit ve ezber:

Örnek 8. $\arcsin\big(\sin\tfrac{5\pi}{6}\big)$. Cevap $\tfrac{5\pi}{6}$ değil. $\sin\tfrac{5\pi}{6}=\tfrac12$, ve $\arcsin\tfrac12=\tfrac{\pi}{6}$, çünkü $\tfrac{5\pi}{6}$ arcsin’in değer aralığında değil.

Örnek 9. $\tan\big(\arcsin\tfrac13\big)$. $\theta=\arcsin\tfrac13$: karşı 1, hipotenüs 3, komşu $\sqrt{9-1}=2\sqrt2$. $\tan\theta=\dfrac{1}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{4}$. Bu “üçgen çiz” tekniği 14. haftadaki ters trigonometrik dönüşümde tekrar çıkacak.

Aynı teknikle genel formüller elde edilir ve 7. haftada türev sonuçlarını sadeleştirirken işine yarar:

$\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2},\qquad \cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2},\qquad \sec(\arctan x)=\sqrt{1+x^2}$

İşaretin neden hep $+$ olduğunu değer aralıklarından gör: $\arccos x\in[0,\pi]$ ve bu aralıkta sinüs negatif olmaz. $\arcsin x\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]$ ve bu aralıkta kosinüs negatif olmaz.

Bir de bilinmesi gereken özdeşlik: her $x\in[-1,1]$ için

$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}$

Kontrol: $x=\tfrac12$ için $\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\pi}{2}$.

Sık yapılan hatalar