Fonksiyonlar, dönüşümler ve üstel fonksiyonlar

Calculus’un ilk haftası “zaten biliyorum” diye geçilen ama vizede puan kaybettiren hafta. Limit, türev ve integral sorularının hepsi bir fonksiyon (function) üzerinde soruluyor. Tanım kümesini yanlış bulan, bileşkeyi ters kuran ya da grafiği yanlış yöne kaydıran öğrenci sonraki haftalarda da aynı hatayı taşıyor. Bu sayfadaki beş kural sınavda en çok işine yarayacaklar:

1. Tanım kümesi (domain) üç yasakla bulunur: kök içi negatif olamaz, payda sıfır olamaz, logaritmanın içi pozitif olmalı.
2. Bileşke $f(g(x))$ içten dışa okunur. Önce $g$, sonra $f$.
3. Parantezin içindeki değişiklik yatay, dışındaki değişiklik dikey hareket ettirir. İçeride işaret ters çalışır: $f(x-3)$ sağa gider.
4. Çift/tek testi: $f(-x)$ hesapla, $f(x)$ ya da $-f(x)$ ile karşılaştır.
5. Üstel denklemde tabanları eşitle. Olmuyorsa $u=a^x$ de.

Fonksiyon, tanım kümesi, değer kümesi

Bir fonksiyon, tanım kümesindeki her $x$‘e tam bir $y$ değeri atayan kuraldır. Tanım kümesi (domain), formülün anlamlı olduğu $x$‘lerin kümesi. Değer kümesi (range), fonksiyonun gerçekten aldığı $y$ değerleri.

Soruda tanım kümesi verilmemişse “doğal tanım kümesi” sorulur. Bunu bulmak için formülü tara ve yasak noktaları çıkar:

Örnek 1. $f(x)=\dfrac{\sqrt{x+3}}{x^2-4}$ fonksiyonunun tanım kümesi.

Kök içi: $x+3\ge 0 \Rightarrow x\ge -3$. Payda: $x^2-4\ne 0 \Rightarrow x\ne \pm 2$. İkisinin kesişimi:

$[-3,-2)\cup(-2,2)\cup(2,\infty)$

$x=-3$ dahil çünkü $\sqrt{0}$ tanımlı. Aralık yazarken köşeli parantez “dahil”, normal parantez “hariç” demek.

TUZAK · sadeleştirince tanım kümesi değişmez. $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ sadeleşince $x+1$ olur ama $x=1$ hâlâ yasak. Tanım kümesini her zaman orijinal formülden bul.

Değer kümesi bulmak

Değer kümesi için formül yok; fonksiyonun yapısına bakarsın. En sık iki teknik:

• Kareye tamamla. $f(x)=x^2-4x+7=(x-2)^2+3$. Kare en az 0, o yüzden $f(x)\ge 3$. Değer kümesi $[3,\infty)$, en küçük değer $x=2$‘de.
• Bilinen parçadan inşa et. $e^{-x}$ her pozitif sayıyı alır. $3-2e^{-x}$ ise $(-\infty,3)$ aralığını alır. Her adımda aralığı dönüştür: çarpınca uçlar çarpılır (negatifle çarpınca aralık ters döner), toplayınca uçlar kayar.

Bir $y_0$ değerinin değer kümesinde olup olmadığını test etmenin en sağlam yolu $f(x)=y_0$ denklemini $x$ için çözmeye çalışmak. Çözüm varsa $y_0$ alınıyor demektir. Bu fikir 2. haftada ters fonksiyon bulurken de kullanılıyor.

Parçalı fonksiyonlar (piecewise functions)

Farklı aralıklarda farklı formül kullanan fonksiyonlar. Değer hesaplarken önce $x$‘in hangi aralıkta olduğuna bak, sonra o parçanın formülünü kullan. Mutlak değer de aslında parçalıdır:

$|x|=\begin{cases} x, & x\ge 0\\ -x, & x<0\end{cases}$

Bileşke fonksiyon (composition)

$(f\circ g)(x)=f(g(x))$. Önce $g$ uygulanır, çıkan sonuç $f$‘e girer. Genelde $f\circ g\ne g\circ f$.

Örnek 2. $f(x)=x^2-1$, $g(x)=\sqrt{x}$.

$(f\circ g)(x)=f(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2-1=x-1,\qquad x\ge 0$

$(g\circ f)(x)=g(x^2-1)=\sqrt{x^2-1},\qquad |x|\ge 1$

$f\circ g$ için formül $x-1$ çıktı ama tanım kümesi $\mathbb{R}$ değil. $x=-4$ koyarsan önce $\sqrt{-4}$ hesaplaman gerekir, bu tanımsız. Bileşkenin tanım kümesi: $g$‘nin tanımlı olduğu ve $g(x)$‘in $f$‘in tanım kümesine düştüğü $x$‘ler.

Sınavda ters yönde de sorulur: ”$F(x)=\sqrt{x^2+5}$ fonksiyonunu $f\circ g$ olarak yaz.” Cevap $g(x)=x^2+5$, $f(x)=\sqrt{x}$. Bu ayrıştırma 6. haftadaki zincir kuralının (chain rule) temeli.

Çift ve tek fonksiyonlar

Örnek 3. Üç fonksiyonu test et.

• $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$: $f(-x)=\dfrac{-x}{x^2+1}=-f(x)$. Tek.
• $g(x)=x^4-3x^2$: $g(-x)=x^4-3x^2=g(x)$. Çift.
• $h(x)=x^2+x$: $h(-1)=0$, $h(1)=2$. Ne $h(-1)=h(1)$ ne de $h(-1)=-h(1)$. Ne tek ne çift.

“Ne tek ne çift” demek için tek bir karşı örnek yeter. “Tek” ya da “çift” demek için ise eşitliği genel $x$ için göstermelisin.

Kısa yol: tek × tek = çift, çift × çift = çift, tek × çift = tek. Bölme için de aynı.

Grafik dönüşümleri (transformations)

$y=f(x)$ grafiğini biliyorsan şunları ezbere çizebilirsin ($c>0$):

Mantığı: parantezin içi $x$‘e dokunur. $f(x-3)$ grafiğinde eski $x=0$ noktasındaki değer artık $x=3$‘te görülür. Bu yüzden içerideki eksi sağa götürür.

Örnek 4. $y=3-2^{x+1}$ grafiğini $y=2^x$‘ten elde et.

y = 2^x          temel grafik, asimptot y = 0, (0,1)'den geçer
y = 2^(x+1)      1 birim sola
y = -2^(x+1)     x eksenine göre yansıma, grafik eksenin altına iner
y = 3 - 2^(x+1)  3 birim yukarı, asimptot y = 3

$y$-kesişimi: $3-2^1=1$. Değer kümesi $(-\infty,3)$. Asimptot da 3 birim yukarı kaydı: $y=3$.

TUZAK · sıra önemli. “Önce 2 kat uzat, sonra 1 yukarı” ile “önce 1 yukarı, sonra 2 kat uzat” farklı grafik verir: $2f(x)+1$ ile $2(f(x)+1)=2f(x)+2$. Soruda verilen sırayla uygula.

Üstel fonksiyonlar (exponential functions)

$f(x)=a^x$, burada $a>0$ ve $a\ne 1$. Özellikler:

• Tanım kümesi $\mathbb{R}$, değer kümesi $(0,\infty)$. Asla sıfır ya da negatif olmaz.
• $(0,1)$ noktasından geçer, çünkü $a^0=1$.
• $a>1$ ise artan, $0<a<1$ ise azalan. $y=0$ yatay asimptot.

Üs kuralları:

$a^{x+y}=a^x a^y,\qquad a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y},\qquad (a^x)^y=a^{xy},\qquad (ab)^x=a^x b^x,\qquad a^{-x}=\frac{1}{a^x}$

Doğal taban e

$e$ sayısı şu limittir:

$e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\approx 2.71828$

$n=100$ için $(1.01)^{100}\approx 2.7048$; $n$ büyüdükçe $2.71828$‘e yerleşir. Calculus’ta neredeyse her üstel fonksiyon $e^x$ ile yazılır, çünkü 7. haftada göreceğin gibi $e^x$‘in türevi kendisidir.

Üstel denklem çözmek

Yöntem 1: tabanları eşitle. $a^{A}=a^{B} \Rightarrow A=B$.

Örnek 5. $9^x=27^{x-2}$.

$3^{2x}=3^{3(x-2)} \Rightarrow 2x=3x-6 \Rightarrow x=6$

Yöntem 2: yerine koyma. Denklemde $a^{2x}$ ve $a^x$ birlikte varsa $u=a^x$ de, ikinci dereceden denklem çıkar. $u>0$ olduğu için negatif kökleri at.

Örnek 6. $2^{2x}-6\cdot 2^x+8=0$. $u=2^x$: $u^2-6u+8=0$, $(u-2)(u-4)=0$. $2^x=2 \Rightarrow x=1$, $2^x=4 \Rightarrow x=2$.

Tabanlar eşitlenemiyorsa ($5^x=2^{x+1}$ gibi) logaritma gerekir. O, 2. haftanın konusu.

Büyüme modeli

“Her $T$ saatte iki katına çıkıyor, başlangıç $N_0$” cümlesi şu modele çevrilir:

$N(t)=N_0\cdot 2^{t/T}$

Yarılanma (half-life) için $2$ yerine $\tfrac12$ yaz.

Sık yapılan hatalar