MAT1041 · 8. hafta · - Basis and Dimension

Baz, boyut ve koordinat vektörü

Bir kümenin baz olup olmadığını test etmeyi, denklemlerle verilen bir altuzayın bazını ve boyutunu bulmayı, bir kümeden baz ayıklamayı ve bir vektörün bir baza göre koordinatlarını hesaplamayı öğrenirsin.

basisstandard basisdimensionfinite-dimensionalcoordinate vectorcoordinates relative to a basispivot columnssolution spaceunique representation

Geçen hafta iki soru sorduk: “Bu vektörler uzayı gerer mi?” ve “Gereksiz vektör var mı?”. İkisine de “evet gerer, hayır gereksiz yok” diyen bir kümeye baz denir. Baz, bir uzayın koordinat sistemidir: her vektör bazın elemanlarıyla tek bir şekilde yazılır. Bazdaki eleman sayısı ise uzayın boyutudur. Bu iki kavram, rank (hafta 9) ve lineer dönüşümlerin matrisleri (hafta 12) için zemin.

Altın kurallar:

Baz = bağımsız + gerer.
Boyutu biliyorsan işin yarısı biter: $n$ boyutlu uzayda $n$ bağımsız vektör otomatik olarak gerer.
Denklemle verilen altuzayın bazı: denklemleri çöz, serbest değişkenlere göre ayır.
Kümeden baz seçerken pivot sütunlara karşılık gelen orijinal vektörleri al.

Baz

$V$ bir vektör uzayı, $B = \{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n\} \subseteq V$ olsun. $B$ hem

lineer bağımsız, hem de
$V$ ‘yi geriyor

ise $V$ ‘nin bir bazıdır (basis).

Neden önemli? Tek temsil. $B$ bir bazsa her $\mathbf{v} \in V$ için $\mathbf{v} = c_1\mathbf{v}_1 + \dots + c_n\mathbf{v}_n$ yazılışı tektir. İki farklı yazılış olsaydı, farkları sıfırın trivial olmayan bir kombinasyonu olurdu ve bağımsızlık bozulurdu.

Standart bazlar

Uzay	Standart baz	Boyut
$\mathbb{R}^n$	$\mathbf{e}_1 = (1, 0, \dots, 0), \dots, \mathbf{e}_n$	$n$
$P_n$	$\{1, x, x^2, \dots, x^n\}$	$n + 1$
$M_{2,2}$	$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$	$4$
$M_{m,n}$	tek bir 1, gerisi 0 olan matrisler	$mn$
$\{\mathbf{0}\}$	boş küme	$0$

Bir uzayın sonsuz sayıda bazı vardır. Standart baz sadece en kolay olanı.

Boyut

Teorem. $V$ ‘nin bir bazı $n$ elemanlıysa, $V$ ‘nin her bazı $n$ elemanlıdır. Bu ortak sayıya $V$ ‘nin boyutu (dimension) denir: $\dim V = n$ .

Arkasındaki fikir: $n$ vektörle gerilen bir uzayda $n$ ‘den fazla vektör her zaman bağımlıdır. Sonuçlar ( $\dim V = n$ ):

Elindeki küme	Sonuç
$n$ ‘den fazla vektör	bağımlı, baz değil
$n$ ‘den az vektör	$V$ ‘yi germez, baz değil
tam $n$ vektör, bağımsız	baz (germeyi kontrol etmeye gerek yok)
tam $n$ vektör, $V$ ‘yi geriyor	baz (bağımsızlığı kontrol etmeye gerek yok)

$\mathbb{R}^n$ ‘de $n$ vektör için tek test: sütun matrisinin determinantı.

Örnek 1. $B = \{(1, 2, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 2)\}$ , $\mathbb{R}^3$ için baz mı?

$\det\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} = 1(2 - 0) - 0 + 1(2 - 0) = 4 \neq 0.$

Evet, baz.

Koordinat vektörü

$B = \{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n\}$ bir baz ve $\mathbf{v} = c_1\mathbf{v}_1 + \dots + c_n\mathbf{v}_n$ ise $\mathbf{v}$ ‘nin $B$ ‘ye göre koordinat vektörü

$[\mathbf{v}]_B = (c_1, \dots, c_n).$

Sıra önemli: baz sıralı bir kümedir. Bulmak için sistemi çöz. Örnek 1’deki $B$ ve $\mathbf{v} = (3, 5, 3)$ :

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right] \xrightarrow{R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right] \xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 - R_2} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 4 & 4 \end{array}\right]$

$c_3 = 1$ , $c_2 = -1 + 2 = 1$ , $c_1 = 3 - 1 = 2$ . $[\mathbf{v}]_B = (2, 1, 1)$ . Kontrol: $2(1, 2, 0) + (0, 1, 1) + (1, 0, 2) = (3, 5, 3)$ .

Standart bazda koordinatlar bileşenlerin kendisidir: $P_2$ ‘de $4 - x + 3x^2$ ‘nin $\{1, x, x^2\}$ ‘ye göre koordinatı $(4, -1, 3)$ . 12. haftada iki baz arasındaki koordinat değişimini (transition matrix) göreceğiz.

Bir altuzayın bazını bulmak

Denklemlerle verilmiş altuzay. $W = \{(x, y, z, w) : x + y - 2z + w = 0\}$ , $\mathbb{R}^4$ ‘te.

x = -y + 2z - w;   y = r, z = s, w = t serbest
(x,y,z,w) = r(-1,1,0,0) + s(2,0,1,0) + t(-1,0,0,1)

Baz $\{(-1, 1, 0, 0), (2, 0, 1, 0), (-1, 0, 0, 1)\}$ , $\dim W = 3$ . Bu yöntemle çıkan vektörler otomatik bağımsızdır: her biri, diğerlerinin 0 olduğu bir serbest konumda 1 taşır.

Genel kural: $W = \{\mathbf{x} : A\mathbf{x} = \mathbf{0}\}$ ise $\dim W$ = serbest değişken sayısı = değişken sayısı − pivot sayısı.

Matris ve polinomlarda aynı yol: koşulu katsayılarla yaz, çöz, serbest katsayılara göre ayır (Q6, Q7).

TUZAK · boyutu denklem sayısıyla karıştırmak. $\dim W = n - (\text{denklem sayısı})$ sadece denklemler bağımsızsa doğru. Q12’de 3 denklem var ama biri diğer ikisinin toplamı; boyut $4 - 2 = 2$ , $4 - 3 = 1$ değil. Her zaman REF’e indirip pivotları say.

Bir kümeden baz ayıklamak

$S = \{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k\}$ verildi; $\operatorname{span}S$ için $S$ ‘nin elemanlarından bir baz istendi.

Vektörleri sütun yap.
REF’e indir, pivot sütunları belirle.
Pivot sütunlara karşılık gelen orijinal vektörler baz; sayıları $\dim\operatorname{span}S$ .

Örnek 2. $S = \{(1, 2, -1), (2, 4, -2), (0, 1, 3), (1, 3, 2)\}$ .

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \\ -1 & -2 & 3 & 2 \end{bmatrix} \xrightarrow[R_3 \leftarrow R_3 + R_1]{R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 - 3R_2} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

Pivotlar 1. ve 3. sütunda: baz $\{(1, 2, -1), (0, 1, 3)\}$ , boyut 2. Pivotsuz sütunlar kombinasyonu da söyler: 2. sütun = 2 × 1. sütun, 4. sütun = 1. + 3. sütun. Gerçekten $(1, 3, 2) = (1, 2, -1) + (0, 1, 3)$ .

TUZAK · REF’teki sütunları baz diye yazmak. Satır işlemleri sütun uzayını değiştirir. REF’in sütunları sadece hangi vektörlerin seçileceğini söyler; cevaba orijinal vektörleri yaz.

Bazı tamamlamak ve altuzay boyutu

Bağımsız bir küme her zaman bir baza genişletilebilir: span’de olmayan bir vektör ekle, bağımsızlık korunur, devam et.
Geren bir küme her zaman bir baza küçültülebilir: diğerlerinin kombinasyonu olanı at.
$W \subseteq V$ altuzay ise $\dim W \le \dim V$ ; eşitlik varsa $W = V$ .

$\mathbb{R}^3$ ‘ün altuzaylarının boyutları: $\{\mathbf{0}\}$ 0, doğru 1, düzlem 2, $\mathbb{R}^3$ 3.

Sık yapılan hatalar

Yanlış	Doğrusu
$\dim P_n = n$	$n + 1$
Baz için sadece germeyi kontrol etmek	Bağımsızlık da şart (boyut bilinmiyorsa)
$n$ boyutlu uzayda $n$ vektör için hem germe hem bağımsızlık ispatı yazmak	Biri yeter
REF’in sütunlarını baz olarak yazmak	Orijinal vektörler
Boyutu denklem sayısından çıkarmak	Pivot say: bağımlı denklem olabilir
Koordinat vektöründe baz sırasını karıştırmak	$[\mathbf{v}]_B$ bazın verildiği sırayla
$\{\mathbf{0}\}$ ‘ın bazını $\{\mathbf{0}\}$ yazmak	Boş küme; $\mathbf{0}$ içeren küme bağımlı

Kendini test et

Sınavdaki gibi İngilizce sorular. Önce kâğıt kalemle çöz, sonra cevabı aç.

Soru 1kolay

What are $\dim M_{2,3}$ and $\dim P_3$ ?

Cevabı göster

6

and

4

$M_{2,3}$ : her konumda 1, diğerleri 0 olan 6 matris standart baz. $\dim = 2 \cdot 3 = 6$ . $P_3$ : standart baz $\{1, x, x^2, x^3\}$ , 4 eleman. Tuzak: derece 3 ama boyut $3 + 1 = 4$ .

Soru 2kolay

Is $\{(1, 2), (2, 4)\}$ a basis for $\mathbb{R}^2$ ?

Cevabı göster

$(2, 4) = 2(1, 2)$ : bağımlı. $\det\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} = 0$ .
İki vektör de tek bir doğru üzerinde, $\mathbb{R}^2$ 'yi germiyorlar.

Soru 3orta

Is $\{(1, 0, 1), (2, 1, 0), (1, 1, 2)\}$ a basis for $\mathbb{R}^3$ ?

Cevabı göster

Yes

3 vektör, $\dim\mathbb{R}^3 = 3$ : bağımsızlık (ya da germe) tek başına yeter.
Sütun matrisi $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ , 1. sütundan: $1(2 - 0) - 0 + 1(2 - 1) = 3 \neq 0$ .

Soru 4orta

Find a basis and the dimension of $W = \{(x, y, z) : x - 3y + 2z = 0\}$ .

Cevabı göster

Basis

\{(3, 1, 0), (-2, 0, 1)\}

\dim W = 2

$x = 3y - 2z$ , $y = s$ , $z = t$ serbest: $(3s - 2t, s, t) = s(3, 1, 0) + t(-2, 0, 1)$ .
İki vektör gerer ve bağımsız (2. ve 3. bileşenlere bak). Bir denklem, 3 değişken: $\dim = 3 - 1 = 2$ .

Soru 5orta

Find a basis and the dimension of $W = \{(a, b, c, d) : a + b = 0,\ c - 2d = 0\}$ in $\mathbb{R}^4$ .

Cevabı göster

Basis

\{(-1, 1, 0, 0), (0, 0, 2, 1)\}

\dim W = 2

$a = -b$ , $c = 2d$ . $b = s$ , $d = t$ : $(-s, s, 2t, t) = s(-1, 1, 0, 0) + t(0, 0, 2, 1)$ .
İki bağımsız denklem, 4 değişken: $\dim = 4 - 2 = 2$ .

Soru 6orta

What is the dimension of the subspace of $3 \times 3$ symmetric matrices?

Cevabı göster

Simetrik matris köşegen (3 eleman) ve köşegen üstü (3 eleman) ile tamamen belirlenir; alttakiler ayna.
Her serbest konum için bir baz matrisi: $3 + 3 = 6$ . Genel: $\frac{n(n+1)}{2}$ .

Soru 7orta

Find a basis and the dimension of $W = \{p \in P_2 : p(1) = 0\}$ .

Cevabı göster

Basis

\{x - 1, x^2 - 1\}

\dim W = 2

$p = a + bx + cx^2$ , $p(1) = a + b + c = 0 \Rightarrow a = -b - c$ . $p = -b - c + bx + cx^2 = b(x - 1) + c(x^2 - 1)$ . İki polinom bağımsız (dereceleri farklı). $\dim P_2 = 3$ , bir koşul: $3 - 1 = 2$ .

Soru 8orta

Find the coordinate vector of $\mathbf{v} = (5, 3)$ relative to the basis $B = \{(1, 1), (1, -1)\}$ .

Cevabı göster

[\mathbf{v}]_B = (4, 1)

$a(1, 1) + b(1, -1) = (5, 3)$ : $a + b = 5$ , $a - b = 3$ . Topla: $2a = 8$ , $a = 4$ , $b = 1$ .
Kontrol: $4(1, 1) + 1(1, -1) = (5, 3)$ .

Soru 9zor

Find a basis for $\operatorname{span}S$ consisting of vectors from $S = \{(1, 2, 1), (2, 4, 2), (1, 0, 1), (0, 1, 0)\}$ , and give its dimension.

Cevabı göster

Basis

\{(1, 2, 1), (1, 0, 1)\}

, dimension

2

Vektörleri sütun yap ve indir: $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ . $R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$ : $(0, 0, -2, 1)$ ; $R_3 \leftarrow R_3 - R_1$ : sıfır satır.
Pivotlar 1. ve 3. sütunda. Orijinal 1. ve 3. vektörler baz.
Kontrol: $(2, 4, 2) = 2(1, 2, 1)$ , $(0, 1, 0) = \frac12[(1, 2, 1) - (1, 0, 1)]$ .

Soru 10zor

For which values of $k$ is $\{(1, k, 2), (0, 1, k), (1, 0, 1)\}$ a basis for $\mathbb{R}^3$ ?

Cevabı göster

k \neq 1

and

k \neq -1

Satır matrisinin determinantı, 1. satırdan: $1(1 - 0) - k(0 - k) + 2(0 - 1) = 1 + k^2 - 2 = k^2 - 1$ .
Baz $\iff \det \neq 0 \iff k \neq \pm1$ .

Soru 11kolay

True or false: A set of three polynomials can span $P_3$ .

Cevabı göster

False

$\dim P_3 = 4$ . Boyutu $n$ olan bir uzayı germek için en az $n$ vektör gerekir. Üç polinomun span'i en fazla 3 boyutlu.

Soru 12zor

Find a basis for and the dimension of the solution space of $x_1 + 2x_2 - x_3 + x_4 = 0$ , $2x_1 + 4x_2 - x_3 + 3x_4 = 0$ , $3x_1 + 6x_2 - 2x_3 + 4x_4 = 0$ .

Cevabı göster

Basis

\{(-2, 1, 0, 0), (-2, 0, -1, 1)\}

, dimension

2

$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$ : $(0, 0, 1, 1)$ . $R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1$ : $(0, 0, 1, 1)$ . $R_3 \leftarrow R_3 - R_2$ : sıfır. $R_1 \leftarrow R_1 + R_2$ : $(1, 2, 0, 2)$ .
RREF: $x_1 = -2x_2 - 2x_4$ , $x_3 = -x_4$ . $x_2 = s$ , $x_4 = t$ : $s(-2, 1, 0, 0) + t(-2, 0, -1, 1)$ .
Boyut = serbest değişken sayısı = $4 - 2 = 2$ .

Doğrulama: Baz testleri node'da BigInt kesirlerle determinant ve rank ile, altuzay bazları tam RREF'ten null space olarak, koordinat vektörleri tam çözümle bulundu; pivot sütunlar RREF'ten okundu ve parametreli baz sorusunda det = k² − 1 birçok k değerinde kontrol edildi (verify/MAT1041/08.mjs).

Deftere not kartı

BAZ: hem lineer bağımsız hem V'yi gerer. Her v, baz vektörlerinin TEK bir kombinasyonu → koordinatlar. Bütün bazlar aynı sayıda eleman içerir → dim V. dim Rⁿ = n, dim P_n = n+1, dim M_mn = mn, dim {0} = 0. dim simetrik n×n = n(n+1)/2. dim V = n iken: n bağımsız vektör → baz; n vektör geriyor → baz (biri yeter). n'den fazla → bağımlı; n'den az → germez. Rⁿ'de n vektör baz ⇔ det ≠ 0. Altuzay bazı (denklemlerle verilmiş): çöz, serbest değişkenlere s,t ver, vektörleri ayır. dim = değişken sayısı - bağımsız denklem sayısı = serbest değişken sayısı. Kümeden baz ayıkla: sütun yap, REF, PİVOT sütunlarının ORİJİNAL vektörleri. [v]_B: c1b1 + ... + cnbn = v sistemini çöz. W ⊆ V → dim W ≤ dim V; eşitse W = V.