MAT1041 · 7. hafta · - Subspaces of Vector Spaces

Span (gerilen küme) ve lineer bağımsızlık

Bir vektör kümesinin gerdiği altuzayı, kümenin bütün uzayı gerip germediğini ve vektörlerin lineer bağımsız olup olmadığını homojen sistem ya da determinantla test etmeyi; Rⁿ, P₂ ve M₂₂'de aynı yöntemi uygulamayı öğrenirsin.

linear combinationspanspanning setspans Vlinearly independentlinearly dependenttrivial solutiondependence relationcoefficient vector

Altuzayı bir kümenin içinde tanımladık; şimdi tersini yapıyoruz: birkaç vektörden başlayıp onların ürettiği altuzayı inşa ediyoruz. Bu fikrin iki yüzü var. Span “bu vektörlerle nereye ulaşabilirim?” sorusunu, lineer bağımsızlık “bu vektörlerden gereksiz olan var mı?” sorusunu cevaplar. İkisi birleşince gelecek haftanın konusu çıkar: baz. Hesap tarafı tanıdık: hepsi Gauss eleme.

Altın kurallar:

Vektörleri matrise sütun olarak yaz.
Span sorusu = homojen olmayan sistemin tutarlılığı. Bağımsızlık sorusu = homojen sistemin tek çözümlü olması.
$n$ vektör, $\mathbb{R}^n$ : determinant tek başına ikisine de cevap verir.
Polinom ve matrisleri önce katsayı vektörüne çevir.

Span

$S = \{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k\}$ bir $V$ uzayında olsun. $S$ ‘nin span’i, bütün lineer kombinasyonlarının kümesidir:

$\operatorname{span}(S) = \{c_1\mathbf{v}_1 + \dots + c_k\mathbf{v}_k : c_i \in \mathbb{R}\}.$

$\operatorname{span}(S)$ her zaman $V$ ‘nin bir altuzayıdır (iki kombinasyonun toplamı ve katı yine kombinasyon) ve $S$ ‘yi içeren en küçük altuzaydır. $\operatorname{span}(S) = V$ ise ” $S$ , $V$ ‘yi gerer (spans $V$ )” denir.

Geometrik sezgi ( $\mathbb{R}^3$ ):

$S$	span
tek sıfır olmayan vektör	orijinden geçen doğru
paralel olmayan iki vektör	orijinden geçen düzlem
aynı düzlemde olmayan üç vektör	$\mathbb{R}^3$

Bir kümenin uzayı gerip germediği

Örnek 1. $S = \{(1, 2, 3), (2, 1, 0), (4, 5, 6)\}$ , $\mathbb{R}^3$ ‘ü gerer mi? Keyfi $\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$ için $[A \mid \mathbf{b}]$ ‘yi indir:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & b_1 \\ 2 & 1 & 5 & b_2 \\ 3 & 0 & 6 & b_3 \end{array}\right] \xrightarrow[R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1]{R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & b_1 \\ 0 & -3 & -3 & b_2 - 2b_1 \\ 0 & -6 & -6 & b_3 - 3b_1 \end{array}\right] \xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & b_1 \\ 0 & -3 & -3 & b_2 - 2b_1 \\ 0 & 0 & 0 & b_1 - 2b_2 + b_3 \end{array}\right]$

Son satırın sağı $b_3 - 3b_1 - 2(b_2 - 2b_1) = b_1 - 2b_2 + b_3$ . Sistem ancak $b_1 - 2b_2 + b_3 = 0$ iken tutarlı. Yani $S$ $\mathbb{R}^3$ ‘ü germez; span $x - 2y + z = 0$ düzlemidir. Örneğin $(1, 1, 0)$ span’de değil ( $1 - 2 + 0 \neq 0$ ).

Kare kısayol. $n$ vektör ve $\mathbb{R}^n$ ise matris kare: $\det \neq 0 \iff$ her $\mathbf{b}$ için tek çözüm $\iff$ $S$ gerer. Örnek 1’de $\det = 0$ , Q2’de $\det = 2$ .

TUZAK · az vektörle germek. $\mathbb{R}^3$ ‘ü iki vektörle geremezsin: $3 \times 2$ matrisin en fazla 2 pivotu olur, üçüncü satır sıfırlanır ve bir tutarlılık koşulu çıkar. $\mathbb{R}^n$ ‘yi germek için en az $n$ vektör gerekir.

Lineer bağımsızlık

$S = \{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k\}$ için

$c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \dots + c_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0}$

denkleminin tek çözümü $c_1 = \dots = c_k = 0$ (trivial çözüm) ise $S$ lineer bağımsızdır (linearly independent). Trivial olmayan bir çözüm varsa lineer bağımlıdır (dependent) ve o çözüm bir bağımlılık ilişkisidir.

Eşdeğer tanım: $S$ bağımlıdır $\iff$ vektörlerden en az biri diğerlerinin lineer kombinasyonudur. Bağımlı bir kümede “gereksiz” bir vektör vardır: onu atınca span değişmez.

Test

Vektörleri sütun olarak $A$ matrisine yaz.
$A\mathbf{c} = \mathbf{0}$ ‘ı çöz (REF yeter).
Serbest değişken yok $\Rightarrow$ bağımsız. Serbest değişken var $\Rightarrow$ bağımlı; serbest değişkene 1 ver, ilişkiyi oku.

Örnek 2. $\mathbf{v}_1 = (1, 0, 2)$ , $\mathbf{v}_2 = (2, 1, 1)$ , $\mathbf{v}_3 = (0, 1, -3)$ .

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & -3 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$c_3$ serbest. $c_3 = 1$ : $c_2 = -1$ , $c_1 = -2c_2 = 2$ . İlişki: $2\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2 + \mathbf{v}_3 = \mathbf{0}$ . Kontrol: $(2 - 2 + 0, 0 - 1 + 1, 4 - 1 - 3) = (0, 0, 0)$ . Bağımlı, ve $\mathbf{v}_3 = \mathbf{v}_2 - 2\mathbf{v}_1$ .

Hesapsız karar verdiren durumlar

Durum	Sonuç
Küme $\mathbf{0}$ ‘ı içeriyor	bağımlı ( $1 \cdot \mathbf{0} = \mathbf{0}$ )
İki vektör, biri diğerinin katı	bağımlı
İki vektör, kat değil	bağımsız
$\mathbb{R}^n$ ‘de $n$ ‘den fazla vektör	bağımlı
Bağımsız kümenin alt kümesi	bağımsız
Bağımlı kümeye vektör eklemek	bağımlı kalır

Polinomlar ve matrisler

$P_2$ ‘de $a + bx + cx^2$ polinomunu $(a, b, c)$ vektörüyle, $M_{2,2}$ ‘de $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ ‘yi $(a, b, c, d)$ ile eşle. Lineer kombinasyonlar katsayılarda aynen korunduğu için span ve bağımsızlık soruları $\mathbb{R}^3$ ya da $\mathbb{R}^4$ sorusuna döner.

Örnek 3. $\{1 + x, x + x^2, 1 + x^2\}$ $P_2$ ‘yi gerer mi? Katsayı vektörleri $(1, 1, 0)$ , $(0, 1, 1)$ , $(1, 0, 1)$ ; determinant $2 \neq 0$ . Hem bağımsız hem gerer. Q9’daki küme ise $1 - x^2$ içerdiği için farklı: orada determinant 0.

İPUCU · sıralamayı sabitle. Katsayı vektörüne çevirirken her polinom için aynı sırayı kullan (sabit, $x$ , $x^2$ ). Bir polinomda $x^2$ ‘yi başa yazarsan sütunlar karışır.

Span ve bağımsızlık birlikte

	Bağımsız	Bağımlı
Gerer	baz (gelecek hafta)	fazla vektör var, at
Germez	eksik vektör var, ekle	ikisi birden

$\mathbb{R}^n$ ‘de tam $n$ vektörün gerip germediği ve bağımsız olup olmadığı aynı soru: $\det \neq 0$ .

Sık yapılan hatalar

Yanlış	Doğrusu
Vektörleri satır yazıp $[A \mid \mathbf{b}]$ kurmak	Vektörler sütun, $\mathbf{b}$ son sütun
“Germiyor” için tek örnek $\mathbf{b}$ bulmadan karar vermek	Tutarlılık koşulunu yaz ya da $\det$ kullan
Bağımsızlık testinde sağ tarafa $\mathbf{b}$ koymak	Bağımsızlık homojen sistem: sağ taraf $\mathbf{0}$
İki vektör bağımsız diye üç vektörü bağımsız sanmak	Üçüncü ilk ikisinin kombinasyonu olabilir
Germek ile bağımsızlığı karıştırmak	$\{(1,2),(3,4),(5,6)\}$ gerer ama bağımlı
$\det = 0$ olunca “çözüm yok” demek	Homojen sistemde $\det = 0$ sonsuz çözüm = bağımlı
Polinom katsayılarını farklı sırada yazmak	Hep (sabit, $x$ , $x^2$ )

Kendini test et

Sınavdaki gibi İngilizce sorular. Önce kâğıt kalemle çöz, sonra cevabı aç.

Soru 1kolay

Are $\mathbf{u} = (1, 2)$ and $\mathbf{v} = (-3, -6)$ linearly independent?

Cevabı göster

$\mathbf{v} = -3\mathbf{u}$ . İki vektör, biri diğerinin katıysa bağımlıdır: $3\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{0}$ trivial olmayan bir ilişki.
Geometrik olarak ikisi aynı doğru üzerinde.

Soru 2orta

Does $S = \{(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)\}$ span $\mathbb{R}^3$ ?

Cevabı göster

Yes

Vektörleri sütun yap: $\det\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} = 1(1 - 0) - 0 + 1(1 - 0) = 2 \neq 0$ .
Kare matris tersinir, yani $A\mathbf{c} = \mathbf{b}$ her $\mathbf{b}$ için çözülebilir. $\mathbb{R}^3$ 'ü gerer (ve bağımsız).

Soru 3orta

Describe $\operatorname{span}\{(1, 2, 3), (2, 1, 0), (4, 5, 6)\}$ as a geometric object in $\mathbb{R}^3$ .

Cevabı göster

The plane

x - 2y + z = 0

$\det = 0$ , yani üçü bağımlı ve $\mathbb{R}^3$ 'ü germez. $[A \mid \mathbf{b}]$ eleme ile tutarlılık koşulu $b_1 - 2b_2 + b_3 = 0$ çıkar.
Kontrol: $(1, 2, 3)$ : $1 - 4 + 3 = 0$ ; $(2, 1, 0)$ : $2 - 2 = 0$ ; $(4, 5, 6)$ : $4 - 10 + 6 = 0$ .
İlk iki vektör paralel değil, span orijinden geçen bir düzlem.

Soru 4orta

Show that $\mathbf{v}_1 = (1, -1, 2)$ , $\mathbf{v}_2 = (2, 1, 1)$ , $\mathbf{v}_3 = (0, 3, -3)$ are linearly dependent and find a dependence relation.

Cevabı göster

2\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2 + \mathbf{v}_3 = \mathbf{0}

$c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + c_3\mathbf{v}_3 = \mathbf{0}$ sistemini çöz. Sütun matrisi $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & -3 \end{bmatrix}$ . $R_2 \leftarrow R_2 + R_1$ : $(0, 3, 3)$ . $R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1$ : $(0, -3, -3)$ . $R_3 \leftarrow R_3 + R_2$ : sıfır satır. $c_3 = t$ serbest: $c_2 = -t$ , $c_1 = -2c_2 = 2t$ . $t = 1$ : $2\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2 + \mathbf{v}_3 = (2 - 2 + 0, -2 - 1 + 3, 4 - 1 - 3) = \mathbf{0}$ .

Soru 5zor

For which values of $k$ are $(1, k, 0)$ , $(0, 1, k)$ , $(k, 0, 1)$ linearly dependent?

Cevabı göster

k = -1

Satır olarak yazılmış matrisin determinantı (transpoz determinantı değiştirmez): $\begin{vmatrix} 1 & k & 0 \\ 0 & 1 & k \\ k & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 0) - k(0 - k^2) + 0 = 1 + k^3$ .
Bağımlı $\iff 1 + k^3 = 0 \iff k = -1$ (reel kök tek).

Soru 6kolay

True or false: Any set of four vectors in $\mathbb{R}^3$ is linearly dependent.

Cevabı göster

True

$c_1\mathbf{v}_1 + \dots + c_4\mathbf{v}_4 = \mathbf{0}$ : 3 denklem, 4 bilinmeyenli homojen sistem. Bilinmeyen sayısı fazla, en az bir serbest değişken, yani trivial olmayan çözüm var.
Genel kural: $\mathbb{R}^n$ 'de $n$ 'den fazla vektör her zaman bağımlı.

Soru 7orta

Is $\{1 + x,\ x + x^2,\ 1 + x^2\}$ linearly independent in $P_2$ ?

Cevabı göster

Yes

Katsayı vektörleri $(1, x, x^2)$ sırasıyla: $(1, 1, 0)$ , $(0, 1, 1)$ , $(1, 0, 1)$ .
Sütun matrisinin determinantı $2 \neq 0$ , yani $c_1 = c_2 = c_3 = 0$ tek çözüm. Bağımsız.

Soru 8orta

Are $A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ , $A_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ , $A_3 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ linearly independent in $M_{2,2}$ ?

Cevabı göster

No:

A_3 = A_1 + A_2

$A_1 + A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = A_3$ , yani $A_1 + A_2 - A_3 = O$ .
Sistematik yol: her matrisi $(a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22})$ vektörü yap, $4 \times 3$ matrisin rankı 2 çıkar.

Soru 9zor

Is $p(x) = 1 + 4x + x^2$ in $\operatorname{span}\{1 + x,\ x + x^2,\ 1 - x^2\}$ ?

Cevabı göster

$a(1 + x) + b(x + x^2) + c(1 - x^2) = (a + c) + (a + b)x + (b - c)x^2$ .
Denklemler: $a + c = 1$ , $a + b = 4$ , $b - c = 1$ . 1. ve 3.'yü topla: $a + b = 2$ . Ama 2. denklem $a + b = 4$ diyor. Tutarsız.
Not: üç polinom bağımlı ( $(1 + x) - (x + x^2) = 1 - x^2$ ), span sadece 2 boyutlu.

Soru 10zor

Suppose $\{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}\}$ is linearly independent. Is $\{\mathbf{u} + \mathbf{v},\ \mathbf{v} + \mathbf{w},\ \mathbf{u} + \mathbf{w}\}$ linearly independent?

Cevabı göster

Yes

$a(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + b(\mathbf{v} + \mathbf{w}) + c(\mathbf{u} + \mathbf{w}) = (a + c)\mathbf{u} + (a + b)\mathbf{v} + (b + c)\mathbf{w} = \mathbf{0}$ . $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}$ bağımsız olduğu için $a + c = 0$ , $a + b = 0$ , $b + c = 0$ . Katsayı matrisinin determinantı $2 \neq 0$ , tek çözüm $a = b = c = 0$ .

Soru 11orta

Does $\{(1, 2), (3, 4), (5, 6)\}$ span $\mathbb{R}^2$ ? Is it linearly independent?

Cevabı göster

Spans

\mathbb{R}^2

; linearly dependent

$(1, 2)$ ve $(3, 4)$ zaten bağımsız: $\det\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} = -2 \neq 0$ . İkisi $\mathbb{R}^2$ 'yi gerer, üçüncüyü eklemek span'i küçültmez.
Ama $\mathbb{R}^2$ 'de üç vektör her zaman bağımlı. Germek ve bağımsız olmak farklı sorular.

Soru 12zor

Find $k$ so that $(1, 2, k)$ lies in $\operatorname{span}\{(1, 1, 1), (1, 3, 2)\}$ .

Cevabı göster

k = 3/2

$a(1, 1, 1) + b(1, 3, 2) = (a + b, a + 3b, a + 2b)$ . $a + b = 1$ , $a + 3b = 2$ : $2b = 1$ , $b = \frac12$ , $a = \frac12$ .
3. bileşen: $k = a + 2b = \frac12 + 1 = \frac32$ .

Doğrulama: Span ve bağımsızlık testleri node'da BigInt kesirlerle tam RREF, rank ve determinant ile yapıldı; bağımlılık ilişkileri null space'ten bulunup lineer kombinasyon sıfır vektörü verecek şekilde geri hesaplandı; parametreli bağımsızlık sorusunda det = 1 + k³ birçok k değerinde kontrol edildi (verify/MAT1041/07.mjs).

Deftere not kartı

span(S) = S'deki vektörlerin TÜM lineer kombinasyonları. Her zaman altuzay. w ∈ span(S)? → [v1 ... vk | w] sistemini çöz (vektörler SÜTUN). Tutarlı mı? S, Rⁿ'i gerer mi? → her b için tutarlı mı? Kare ise: det ≠ 0 ⇔ gerer. Bağımsız: c1v1 + ... + ckvk = 0 ⇒ sadece c1 = ... = ck = 0. Test: [v1 ... vk] x = 0 → serbest değişken YOK ⇔ bağımsız. Kare (n vektör, Rⁿ): det ≠ 0 ⇔ bağımsız ⇔ gerer. Bağımlı ise null space vektörü = bağımlılık ilişkisi. Hızlı kurallar: 0 vektörünü içeren küme → bağımlı iki vektör: biri diğerinin katı ⇔ bağımlı Rⁿ'de n'den fazla vektör → bağımlı; n'den az vektör → Rⁿ'i GERMEZ P_n, M_mn: polinom/matrisi katsayı vektörüne çevir, aynı test. Bağımlı ⇔ en az biri diğerlerinin kombinasyonu.