MAT1041 · 9. hafta · - Rank of a Matrix and Systems of Linear Equations

Rank, satır/sütun/null space ve lineer sistemler

Bir matrisin satır uzayı, sütun uzayı ve null space'i için baz bulmayı, rank ve nullity'yi, rank-nullity teoremini ve bir sistemin tutarlılığını rank ile ve çözümünü 'özel çözüm + homojen çözüm' biçiminde yazmayı öğrenirsin.

row spacecolumn spacenull spaceranknullityrank-nullity theoremparticular solutiongeneral solutionconsistentpivot columnsinvertible matrix theorem

Bir matrise üç altuzay eşlik eder: satırların gerdiği satır uzayı, sütunların gerdiği sütun uzayı ve $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ ‘ın çözümlerinden oluşan null space. Bunların boyutları arasındaki ilişki (rank-nullity teoremi) lineer cebirin en kullanışlı sayma kuralıdır. Ve güzel haber: üçünün bazı da tek bir RREF hesabından çıkar. Bu hafta 1. haftadaki “tek / sonsuz / yok” kararının arkasındaki teoriyi de kapatıyoruz.

Altın kurallar:

Önce RREF. Üç altuzay da oradan okunur.
Satır uzayı için RREF’in satırlarını, sütun uzayı için orijinal sütunları kullan.
Rank + nullity = sütun sayısı.
Tutarlılık: $\operatorname{rank}[A \mid \mathbf{b}] = \operatorname{rank}A$ .

Üç altuzay

$A$ $m \times n$ olsun.

Altuzay	Tanım	Nerede yaşar
Satır uzayı (row space)	satırlarının span’i	$\mathbb{R}^n$
Sütun uzayı (column space)	sütunlarının span’i = $\{A\mathbf{x}\}$	$\mathbb{R}^m$
Null space	$\{\mathbf{x} : A\mathbf{x} = \mathbf{0}\}$	$\mathbb{R}^n$

Sütun uzayı, $A\mathbf{x}$ ‘in alabildiği bütün değerlerdir, çünkü $A\mathbf{x}$ sütunların bir kombinasyonudur (2. hafta). Bu yüzden $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ tutarlıdır ancak ve ancak $\mathbf{b}$ sütun uzayındadır.

Tek RREF, üç baz

Örnek. $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 2 \\ 2 & 6 & 3 & 5 \\ 1 & 3 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ .

$A \xrightarrow[R_3 \leftarrow R_3 - R_1]{R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 + R_2} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_1 \leftarrow R_1 - R_2} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = R$

Pivotlar 1. ve 3. sütunda.

Satır uzayı. Satır işlemleri satırları birbirinin kombinasyonuyla değiştirir; span aynı kalır. $R$ ‘nin sıfır olmayan satırları bağımsızdır (pivotlar farklı yerde):

$\text{row}(A) \text{ bazı: } \{(1, 3, 0, 1),\ (0, 0, 1, 1)\}.$

Sütun uzayı. Satır işlemleri sütunlar arasındaki lineer ilişkileri korur ama sütunların kendisini değiştirir. $R$ ‘de 2. sütun = 3 × 1. sütun ve 4. sütun = 1. + 3. sütun; aynı ilişkiler $A$ ‘da da geçerli. Pivot sütunlar bağımsızdır, gerisi onların kombinasyonu:

$\text{col}(A) \text{ bazı: } \{(1, 2, 1),\ (1, 3, 0)\} \quad (A\text{'nın 1. ve 3. sütunu}).$

Null space. $R\mathbf{x} = \mathbf{0}$ : $x_1 + 3x_2 + x_4 = 0$ , $x_3 + x_4 = 0$ . Serbest $x_2 = s$ , $x_4 = t$ :

$\mathbf{x} = s(-3, 1, 0, 0) + t(-1, 0, -1, 1), \qquad \text{null}(A) \text{ bazı: } \{(-3, 1, 0, 0),\ (-1, 0, -1, 1)\}.$

TUZAK · RREF sütunlarını sütun uzayı bazı yazmak. $R$ ‘nin pivot sütunları $(1, 0, 0)$ ve $(0, 1, 0)$ ; bunlar $A$ ‘nın sütun uzayında bile değil ( $A$ ‘nın sütun uzayı $3b_1 = b_2 + b_3$ düzlemi). Sütun uzayı için daima orijinal $A$ .

Rank ve nullity

$\operatorname{rank}A = \dim\text{row}(A) = \dim\text{col}(A) = \text{pivot sayısı}, \qquad \operatorname{nullity}A = \dim\text{null}(A).$

Satır uzayı ile sütun uzayının boyutunun eşit olması şaşırtıcıdır (biri $\mathbb{R}^n$ ‘de, diğeri $\mathbb{R}^m$ ‘de) ama ikisi de pivot sayısına eşit. Sonuç: $\operatorname{rank}A^T = \operatorname{rank}A$ .

Rank-nullity teoremi. $A$ $m \times n$ ise

$\operatorname{rank}A + \operatorname{nullity}A = n.$

Her sütun ya pivot sütunudur (rank’a sayılır) ya serbest değişken sütunudur (nullity’ye sayılır). Örnekte $2 + 2 = 4$ .

Hızlı sorular için tablo ( $A$ $m \times n$ ):

Bilgi	Sonuç
$\operatorname{rank}A \le \min(m, n)$	4×6 matrisin rankı en fazla 4
$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ sadece trivial	nullity 0, rank $= n$
$\operatorname{rank}A = m$	her satırda pivot, her $\mathbf{b}$ için tutarlı
$\operatorname{rank}A = n$	serbest değişken yok, tutarlıysa tek çözüm
$n > m$	nullity $\ge n - m > 0$ , homojen sistem nontrivial çözümlü

Rank ve sistemler

$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ için:

Durum	Sonuç
$\operatorname{rank}[A \mid \mathbf{b}] > \operatorname{rank}A$	çözüm yok
$\operatorname{rank}[A \mid \mathbf{b}] = \operatorname{rank}A = n$	tek çözüm
$\operatorname{rank}[A \mid \mathbf{b}] = \operatorname{rank}A < n$	sonsuz çözüm, $n - \operatorname{rank}A$ parametre

haftadaki karar tablosunun aynısı, sadece rank diliyle. $[0 \cdots 0 \mid c \neq 0]$ satırı, genişletilmiş matrise fazladan bir pivot eklemek demektir.

Örnekte $\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$ için aynı işlemler son satırın sağına $b_2 + b_3 - 3b_1$ bırakır. $\mathbf{b} = (3, 7, 2)$ için $7 + 2 - 9 = 0$ : tutarlı. $\mathbf{b} = (1, 0, 0)$ için $-3 \neq 0$ : tutarsız, $\operatorname{rank}[A \mid \mathbf{b}] = 3$ .

Genel çözüm = özel çözüm + homojen çözüm

$\mathbf{x}_p$ , $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ ‘nin herhangi bir (özel, particular) çözümü ise bütün çözümler

$\mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \mathbf{x}_h, \qquad \mathbf{x}_h \in \text{null}(A).$

Neden: iki çözümün farkı $A(\mathbf{x} - \mathbf{x}_p) = \mathbf{b} - \mathbf{b} = \mathbf{0}$ , yani null space’te.

Örnekte $\mathbf{b} = (3, 7, 2)$ : $[A \mid \mathbf{b}]$ ‘nin RREF’i $x_1 + 3x_2 + x_4 = 2$ , $x_3 + x_4 = 1$ verir. Serbest değişkenleri 0 al: $\mathbf{x}_p = (2, 0, 1, 0)$ . Kontrol: $A\mathbf{x}_p = (2 + 1, 4 + 3, 2 + 0) = (3, 7, 2)$ . Genel çözüm:

$\mathbf{x} = (2, 0, 1, 0) + s(-3, 1, 0, 0) + t(-1, 0, -1, 1).$

Geometrik olarak: çözüm kümesi null space’in $\mathbf{x}_p$ kadar kaydırılmış hali. Altuzay değil (sıfırı içermez), ama paralel bir kopya.

Tersinir matris teoremi (güncel)

$A$ $n \times n$ için şunlar denktir:

$A$ tersinir. 2. $\det A \neq 0$ . 3. $A \sim I_n$ . 4. $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ sadece trivial. 5. $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ her $\mathbf{b}$ için tek çözümlü. 6. $\operatorname{rank}A = n$ . 7. $\operatorname{nullity}A = 0$ . 8. Sütunlar bağımsız. 9. Sütunlar $\mathbb{R}^n$ ‘i gerer. 10. Satırlar $\mathbb{R}^n$ ‘in bazı.

Sınavda bir maddeyi gösterip diğerini sonuç olarak yazmak meşru bir argümandır.

Sık yapılan hatalar

Yanlış	Doğrusu
Rank-nullity’de satır sayısını kullanmak	$n$ = sütun sayısı
Sütun uzayına RREF sütunlarını yazmak	Orijinal pivot sütunlar
Satır uzayına orijinal satırları körü körüne yazmak	Bağımlı olabilirler; RREF’in sıfır olmayan satırları güvenli
Rank’ı sıfır olmayan eleman sayısı sanmak	Pivot sayısı
$\det = 0$ ise rank $= 0$	Rank $< n$ ; 1 ya da 2 olabilir
Genel çözümde özel çözümü unutmak	$\mathbf{x}_p + \mathbf{x}_h$
Null space’i $\mathbb{R}^m$ ‘de aramak	$\mathbb{R}^n$ ‘de ( $\mathbf{x}$ ‘in yaşadığı yer)

Kendini test et

Sınavdaki gibi İngilizce sorular. Önce kâğıt kalemle çöz, sonra cevabı aç.

Soru 1kolay

Find the rank of $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ .

Cevabı göster

$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$ sıfır satır verir. Tek pivot: rank 1.
Sütun gözüyle: 2. sütun = 2 × 1. sütun, bağımsız sütun sayısı 1.

Soru 2kolay

$A$ is a $5 \times 7$ matrix with rank 3. What is the nullity of $A$ ?

Cevabı göster

Rank-nullity: $\operatorname{rank}A + \operatorname{nullity}A = n$ = sütun sayısı $= 7$ . $\operatorname{nullity} = 7 - 3 = 4$ . Satır sayısı (5) bu formülde yok.

Soru 3orta

Find the rank of $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 5 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ .

Cevabı göster

$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$ : $(0, 0, 1, 1)$ . $R_3 \leftarrow R_3 + R_1$ : $(0, 0, 3, 3)$ . $R_3 \leftarrow R_3 - 3R_2$ : sıfır satır.
İki pivot (sütun 1 ve 3): rank 2.

Soru 4orta

For the matrix $A$ of the previous question, find a basis for the row space of $A$ .

Cevabı göster

\{(1, -1, 0, -2),\ (0, 0, 1, 1)\}

Satır işlemleri satır uzayını değiştirmez. RREF'in sıfır olmayan satırları baz. $R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2$ ile RREF: $(1, -1, 0, -2)$ ve $(0, 0, 1, 1)$ .
(REF satırları $(1, -1, 2, 0)$ , $(0, 0, 1, 1)$ de doğru bir cevap.)

Soru 5orta

For the same $A$ , find a basis for the column space of $A$ .

Cevabı göster

\{(1, 2, -1),\ (2, 5, 1)\}

Pivotlar 1. ve 3. sütunda. Sütun uzayının bazı: $A$ 'nın orijinal 1. ve 3. sütunları.
RREF'in sütunlarını yazmak yanlış: satır işlemi sütun uzayını değiştirir.

Soru 6orta

For the same $A$ , find a basis for the null space and the nullity.

Cevabı göster

Basis

\{(1, 1, 0, 0), (2, 0, -1, 1)\}

, nullity

2

RREF: $x_1 - x_2 - 2x_4 = 0$ , $x_3 + x_4 = 0$ . $x_2 = s$ , $x_4 = t$ serbest. $\mathbf{x} = (s + 2t, s, -t, t) = s(1, 1, 0, 0) + t(2, 0, -1, 1)$ .
Kontrol: $2 + 2 = 4$ sütun sayısı (rank + nullity).

Soru 7orta

For the same $A$ , is $\mathbf{b} = (1, 3, 4)$ in the column space of $A$ ?

Cevabı göster

$[A \mid \mathbf{b}]$ üzerinde aynı işlemler: $R_2 - 2R_1$ : $(0, 0, 1, 1 \mid 1)$ ; $R_3 + R_1$ : $(0, 0, 3, 3 \mid 5)$ ; $R_3 - 3R_2$ : $(0, 0, 0, 0 \mid 2)$ .
Tutarsız, yani $\operatorname{rank}[A \mid \mathbf{b}] = 3 > \operatorname{rank}A = 2$ . $\mathbf{b}$ sütun uzayında değil.
( $\mathbf{b} = (1, 3, 2)$ olsaydı son satır $0 = 0$ çıkardı.)

Soru 8zor

For which values of $k$ does $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & k & 6 \\ 1 & 1 & k \end{bmatrix}$ have rank 2?

Cevabı göster

k = 3

k = 4

$\det A = 1(k^2 - 6) - 2(2k - 6) + 3(2 - k) = k^2 - 7k + 12 = (k - 3)(k - 4)$ . $\det \neq 0$ ise rank 3. $k = 3$ veya $4$ iken $\det = 0$ , rank $< 3$ . 1. ve 3. satır $(1, 2, 3)$ , $(1, 1, k)$ hiçbir $k$ için orantılı değil, yani rank $\ge 2$ .
Sonuç: rank tam olarak 2.

Soru 9zor

Write the general solution of $x_1 + x_2 + 2x_3 = 3$ , $2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 8$ in the form $\mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \mathbf{x}_h$ .

Cevabı göster

\mathbf{x} = (1, 2, 0) + t(-1, -1, 1)

$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$ : $(0, 1, 1 \mid 2)$ . $R_1 \leftarrow R_1 - R_2$ : $(1, 0, 1 \mid 1)$ . $x_3 = t$ : $x_1 = 1 - t$ , $x_2 = 2 - t$ . Özel çözüm ( $t = 0$ ) $(1, 2, 0)$ ; homojen kısım $t(-1, -1, 1)$ , $A$ 'nın null space'i.

Soru 10kolay

True or false: A $4 \times 6$ matrix can have rank 5.

Cevabı göster

False

Rank = pivot sayısı; her satırda en fazla bir pivot, 4 satır var. $\operatorname{rank}A \le \min(m, n) = 4$ .

Soru 11zor

$A$ is $6 \times 4$ and $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ has only the trivial solution. Find $\operatorname{rank}A$ . Is $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ consistent for every $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^6$ ?

Cevabı göster

\operatorname{rank}A = 4

; no

Sadece trivial çözüm $\Rightarrow$ nullity 0 $\Rightarrow$ rank $= 4 - 0 = 4$ .
Sütun uzayı $\mathbb{R}^6$ 'nın 4 boyutlu bir altuzayı, $\mathbb{R}^6$ 'nın tamamı değil. Bazı $\mathbf{b}$ için tutarsız.
Ama tutarlı olduğunda çözüm tek (serbest değişken yok).

Soru 12orta

If $A$ is $3 \times 5$ with $\operatorname{rank}A = 3$ , what are $\operatorname{rank}A^T$ and the dimension of the null space of $A^T$ ?

Cevabı göster

3

and

0

$\operatorname{rank}A^T = \operatorname{rank}A = 3$ (satır uzayı ile sütun uzayının boyutu eşit). $A^T$ $5 \times 3$ : nullity $= 3 - 3 = 0$ .

Doğrulama: RREF, rank, pivot sütunları ve null space bazları node'da BigInt kesirlerle tam hesaplandı; tutarlılık koşulları birçok b vektörüyle tam çözüm denenerek, özel çözümler A·x = b çarpımıyla, parametreli rank sorusu birçok k değerinde kontrol edildi (verify/MAT1041/09.mjs).

Deftere not kartı

Satır uzayı row(A) ⊆ Rⁿ: RREF'in sıfır olmayan SATIRLARI baz (satır işlemi değiştirmez). Sütun uzayı col(A) ⊆ Rᵐ: PİVOT SÜTUNLARIN ORİJİNAL halleri baz. Null space null(A) ⊆ Rⁿ: Ax = 0 çöz, serbest değişkenlere göre ayır. rank A = pivot sayısı = dim row = dim col. rank A^T = rank A. nullity A = dim null(A) = serbest değişken sayısı. RANK-NULLITY: rank A + nullity A = n (SÜTUN sayısı). rank ≤ min(m, n). Ax = b tutarlı ⇔ b ∈ col(A) ⇔ rank[A|b] = rank A. Tutarlıysa: x = x_p + x_h (özel çözüm + null space'ten herhangi bir vektör). rank = n → tek çözüm; rank < n → sonsuz. rank = m (her satırda pivot) → her b için tutarlı. Kare A tersinir ⇔ rank = n ⇔ nullity = 0 ⇔ det ≠ 0 ⇔ satırlar/sütunlar baz.