Kutupsal koordinatlarda çift katlı integraller

Dersin son haftası. Geçen hafta Kartezyen koordinatlarda çift katlı integral aldın. Ama bölge bir daire, halka ya da daire dilimiyse sınırlar köklü ifadelere ($y = \sqrt{1-x^2}$) döner ve integral çoğu zaman çirkinleşir, hatta alınamaz hale gelir. Kutupsal koordinatlar (polar coordinates) bu bölgeleri dikdörtgen gibi yapar: “yarıçap $0$‘dan $2$‘ye, açı $0$‘dan $2\pi$‘ye”. İntegrandda $x^2+y^2$ varsa o da tek bir $r^2$ olur. Sınavda en az bir kutupsal soru, çoğu zaman da “convert to polar and evaluate” sorusu gelir.

Altın kurallar:

1. $dA = r\,dr\,d\theta$. Fazladan $r$ çarpanı asla unutulmaz.
2. Bölge daire, halka, dilim ya da $r = f(\theta)$ eğrisiyle sınırlıysa ve/veya integrandda $x^2+y^2$ varsa kutupsala geç.
3. Önce bölgeyi çiz, $\theta$ aralığını ve her $\theta$ için $r$ aralığını oku.
4. Kartezyenden dönüştürürken $x$, $y$ yerine $r\cos\theta$, $r\sin\theta$ koy; sınırları bölgeden yeniden kur.

Kutupsal koordinatlar hatırlatma

Bir nokta, orijine uzaklığı $r$ ve pozitif $x$ ekseniyle yaptığı açı $\theta$ ile verilir:

$x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad x^2+y^2 = r^2,\qquad\tan\theta = \frac yx.$

Neden $r\,dr\,d\theta$?

Kartezyen ızgarada küçük parça bir dikdörtgendi, alanı $\Delta x\,\Delta y$. Kutupsal ızgarada küçük parça bir halka dilimi: iç yarıçap $r$, kalınlık $\Delta r$, açı genişliği $\Delta\theta$. Dış kenarının uzunluğu yaklaşık $r\Delta\theta$ (yay uzunluğu = yarıçap $\times$ açı). Yani alan yaklaşık

$\Delta A\approx(r\,\Delta\theta)(\Delta r) = r\,\Delta r\,\Delta\theta.$

Orijinden uzaklaştıkça aynı $\Delta\theta$ daha geniş bir yay verir; $r$ çarpanı bunu hesaba katar.

Teorem. $D = \{\alpha\le\theta\le\beta,\ r_1(\theta)\le r\le r_2(\theta)\}$ ise

$\iint_Df(x,y)\,dA = \int_\alpha^\beta\!\!\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,\,r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta.$

Bölgeleri kutupsal yazmak

Şablon: orijinden bölgenin içine doğru bir ışın çiz. Işın bölgeye nerede giriyor (alt sınır $r_1$), nerede çıkıyor (üst sınır $r_2$)? Bölgeyi taramak için ışını hangi açıdan hangi açıya döndürmelisin ($\alpha$, $\beta$)?

Örnek 1. Yarıçapı $3$ olan dairenin alanı: $\displaystyle\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^3r\,dr\,d\theta = 2\pi\cdot\frac92 = 9\pi$. Kontrol: $\pi\cdot3^2$ ✓.

Örnek 2. $\displaystyle\iint_D\sqrt{x^2+y^2}\,dA$, $D$ birim disk. $\sqrt{x^2+y^2} = r$:

$\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1r\cdot r\,dr\,d\theta = 2\pi\cdot\frac13 = \frac{2\pi}{3}.$

Örnek 3 (halka, çeyrek). $1\le x^2+y^2\le4$ halkasının birinci bölgedeki parçasında $\iint x\,dA$:

r: 1 → 2,   θ: 0 → π/2,   x = r cos θ
∫_0^{π/2} ∫_1^2 (r cos θ) r dr dθ = (∫_0^{π/2} cos θ dθ)(∫_1^2 r² dr)
                                  = 1 · (8 - 1)/3 = 7/3

Sınırlar sabit ve integrand $g(\theta)h(r)$ biçiminde olduğunda integral iki tek integralin çarpımına ayrılır. Kutupsal sorularda bu çok sık olur.

Örnek 4 (kutupsal eğriyle sınırlı). $r = 4\sin\theta$ çemberinin içindeki alan. Çember $\theta\in[0,\pi]$ aralığında bir kez çizilir.

$\int_0^\pi\!\!\int_0^{4\sin\theta}r\,dr\,d\theta = \int_0^\pi8\sin^2\theta\,d\theta = 8\cdot\frac\pi2 = 4\pi.$

Kontrol: $x^2+y^2 = 4y$, yani $x^2+(y-2)^2 = 4$, yarıçap $2$, alan $4\pi$ ✓.

TUZAK · $\theta$ aralığı. $r = 2\cos\theta$ çemberi için $0\le\theta\le2\pi$ yazarsan çemberi iki kez dolaşırsın ve alanı iki katı bulursun. Kutupsal eğrinin bir kez çizildiği aralığı kullan: $r\ge0$ olan açılar. Gül eğrilerinde ($r = \cos2\theta$) bir yaprak için de $r\ge0$ aralığını bul.

Kartezyenden kutupsala dönüştürme

Örnek 5. $\displaystyle\int_{-1}^1\!\!\int_0^{\sqrt{1-x^2}}(x^2+y^2)\,dy\,dx$.

1) Bölgeyi oku: -1 ≤ x ≤ 1,  0 ≤ y ≤ √(1-x²)  → birim dairenin ÜST yarısı
2) Kutupsal sınırlar: 0 ≤ r ≤ 1,  0 ≤ θ ≤ π
3) İntegrand: x² + y² = r²;   dy dx → r dr dθ
4) ∫_0^π ∫_0^1 r² · r dr dθ = π · (1/4) = π/4

Kartezyende bu integral $y^3/3$ ve $(1-x^2)^{3/2}$ gibi terimlerle uzun bir hesap gerektirirdi.

İPUCU · köklü sınır işaret fişeği. Bir sınırda $\sqrt{a^2-x^2}$ ya da $\sqrt{a^2-y^2}$ görüyorsan bölge büyük ihtimalle bir dairenin parçası. İntegrandda da $x^2+y^2$ varsa soru seni kutupsala çağırıyor.

Gauss integrali

$\int e^{-x^2}dx$‘in temel antitürevi yok; ama tüm doğru üzerindeki değeri kutupsal hileyle bulunur. $I = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx$ ise

$I^2 = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}dy = \iint_{\mathbb R^2}e^{-(x^2+y^2)}dA = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\infty e^{-r^2}r\,dr\,d\theta = 2\pi\cdot\frac12 = \pi.$

$I = \sqrt\pi$. Olasılıktaki normal dağılımın formülündeki $\sqrt{2\pi}$ buradan gelir. Hilenin kalbi yine $r$ çarpanı: $e^{-r^2}r$ ifadesinin antitürevi var, $e^{-r^2}$‘nin yok.

Hacim

Taban bölgesi daire ya da halka olan katılarda hacim $\iint(\text{üst}-\text{alt})\,dA$ yine geçerli; sadece kutupsal yazarsın. Tabanı bulmak için iki yüzeyi eşitle ya da yüzeyin $z = 0$ ile kesişimine bak. Q7’de paraboloit $z = 0$‘da $r = 3$ çemberini verir; Q8’de silindir tabanı doğrudan $r\le1$ diye belirler.

Sık yapılan hatalar