Kapalı bölgede mutlak ekstremum ve Lagrange çarpanları

Geçen haftaki ikinci türev testi sadece yerel ekstremum bulur. Ama pratikte çoğu soru “bu bölgedeki en yüksek ve en düşük değer nedir?” ya da “bu kısıt altında en iyi değer nedir?” diye sorar. Bu hafta bu iki soruyu cevaplıyoruz. Birincisinde (kapalı bölgede mutlak ekstremum) bölgenin içini ve sınırını ayrı ayrı tarayıp adayları karşılaştırırız. İkincisinde (Lagrange çarpanları) kısıtı çözmeden, gradientlerin paralel olması koşuluyla adayları buluruz. Sınavda ikisinden de birer büyük soru gelir; puanlar en çok sınırın bir parçasını ya da bir çözüm durumunu atlamaktan kaybedilir.

Altın kurallar:

1. Kapalı ve sınırlı bölgede sürekli fonksiyonun mutlak maks ve min değeri mutlaka vardır (Extreme Value Theorem).
2. Adaylar: içteki kritik noktalar + sınırdaki kritik noktalar + köşeler.
3. Mutlak ekstremumda $D$ testi gerekmez. Sadece değerleri karşılaştır.
4. Lagrange: $\nabla f = \lambda\nabla g$ ve $g = k$. Bölmeden önce sıfır olabilecek çarpanları ayrı incele.

Mutlak ekstremum: kapalı bölge yöntemi

Bölge kapalı (sınırını içeriyor) ve sınırlı (sonsuza gitmiyor) olmalı. Disk, dikdörtgen, üçgen tipik örnekler.

Yöntem.

1) İÇ: f_x = 0, f_y = 0 çöz. Sadece bölgenin içinde kalan noktaları tut.
2) SINIR: her kenarı ayrı ele al.
     doğru parçası → y'yi (ya da x'i) yerine koy, tek değişkenli fonksiyon
       → türevi 0 yap (aralık içindeki kökler) + kenarın iki ucu
     çember x²+y²=r² → x² = r² - y² koy, ya da x = r cos t, y = r sin t
3) TABLO: bütün adayları ve f değerlerini yaz. En büyük ve en küçüğü seç.

Örnek 1. $f(x,y) = x^2+y^2-2x-4y$, köşeleri $(0,0)$, $(4,0)$, $(0,4)$ olan üçgen.

İç. $f_x = 2x-2 = 0$, $f_y = 2y-4 = 0$: $(1,2)$. $1+2\le4$, içeride. $f(1,2) = 1+4-2-8 = -5$.

Kenar 1, $y = 0$, $0\le x\le4$. $f = x^2-2x$, $f' = 2x-2 = 0$: $x = 1$, $f = -1$. Uçlar: $f(0,0) = 0$, $f(4,0) = 8$.

Kenar 2, $x = 0$, $0\le y\le4$. $f = y^2-4y$, $y = 2$: $f = -4$. Uçlar: $0$ ve $f(0,4) = 0$.

Kenar 3, $x+y = 4$. $y = 4-x$: $f = x^2+(4-x)^2-2x-4(4-x) = 2x^2-6x$. $f' = 4x-6 = 0$: $x = 1.5$, nokta $(1.5,2.5)$, $f = -4.5$. Uçlar zaten köşeler.

Mutlak maks $8$, $(4,0)$‘da. Mutlak min $-5$, $(1,2)$‘de.

TUZAK · köşeleri unutmak. Her kenarı tek değişkenli bir fonksiyona indirdiğinde o kenarın uç noktaları da aday. Uçlar köşeler olduğu için en kolay yol: köşelerdeki değerleri en başta hesaplayıp tabloya yazmak. Bu örnekte maksimum bir köşede çıktı ve hiçbir türev sıfırı onu vermedi.

Lagrange çarpanları

Problem. $g(x,y) = k$ kısıtı (bir eğri) üzerinde $f(x,y)$‘nin en büyük ve en küçük değerini bul. Üç değişkende kısıt bir yüzey: $g(x,y,z) = k$.

Teorem. $f$‘nin kısıt üzerindeki ekstremum noktasında (ve $\nabla g\neq\mathbf 0$ ise) bir $\lambda$ sayısı vardır ki

$\nabla f = \lambda\nabla g,\qquad g = k.$

İki değişkende bu üç denklem ($f_x = \lambda g_x$, $f_y = \lambda g_y$, $g = k$), üç bilinmeyen ($x,y,\lambda$). Üç değişkende dört denklem, dört bilinmeyen.

Sezgi. Kısıt eğrisi boyunca yürüdüğünü ve $f$‘nin seviye eğrilerini kestiğini düşün. Seviye eğrisini kestiğin sürece $f$ artıyor ya da azalıyor demektir. Ekstremumda kısıt eğrisi, $f$‘nin seviye eğrisine teğet olur. İki eğri teğetse normalleri paraleldir. Normaller de gradientler: $\nabla f\parallel\nabla g$. $\lambda$ paralellik katsayısı.

Örnek 2. $f = xy$, kısıt $x^2+y^2 = 8$.

∇f = <y, x>,  ∇g = <2x, 2y>
y = 2λx        (1)
x = 2λy        (2)
x² + y² = 8    (3)
(1)'i x ile, (2)'yi y ile çarp: xy = 2λx² ve xy = 2λy²  →  λx² = λy²
λ = 0 ise (1),(2)'den x = y = 0, (3)'ü sağlamaz → λ ≠ 0, yani x² = y²
(3): 2x² = 8, x = ±2, y = ±2  → dört nokta
f(2,2) = f(-2,-2) = 4,   f(2,-2) = f(-2,2) = -4

Maks $4$, min $-4$. Kısıt çember (kapalı ve sınırlı), iki değer de kesin olarak var.

Sistemi çözme taktikleri

İPUCU · sıfır durumları. $2xy = 2\lambda x$ gibi bir denklemde $x$‘i sadeleştirmeden önce $x = 0$ durumunu ayrı yaz. Q9’da $x = 0$ dalı $f = 0$ değerini veren iki aday üretiyor. Min ya da maks olmasalar bile adaylar listesinde olmalılar; atlamak çözümü eksik bırakır.

Örnek 3 (üç değişken). $x^2+y^2+z^2 = 3$ küresi üzerinde $f = x+y+z$‘nin en büyük değeri. $\langle1,1,1\rangle = \lambda\langle2x,2y,2z\rangle$, yani $x = y = z = \frac{1}{2\lambda}$. Kısıt: $3x^2 = 3$, $x = \pm1$. Maks $f(1,1,1) = 3$, min $f(-1,-1,-1) = -3$.

Lagrange mı, yerine koyma mı?

Kısıttan bir değişkeni kolayca çekebiliyorsan (doğru, düzlem) geçen haftanın yerine koyma yöntemi de çalışır. Lagrange’ın avantajı: kısıt karmaşık olduğunda (çember, elips, $xyz = 1$) kök almadan ve durum ayırmadan simetrik bir sistem verir. Kapalı bölge sorularında sınır çember ya da elipsse sınırı Lagrange ile, içi $\nabla f = \mathbf 0$ ile inceleyebilirsin.

Sık yapılan hatalar