Kısmi türevler ve zincir kuralı

Bu hafta türev kavramını çok değişkenli fonksiyonlara taşıyoruz. Fikir basit: diğer bütün değişkenleri sabit tut, tek bir değişkene göre bildiğin türevi al. Buna kısmi türev (partial derivative) denir. Üzerine iki önemli araç kuracağız: değişkenler başka değişkenlere bağlıyken türevi hesaplayan zincir kuralı (chain rule) ve denklemle verilen fonksiyonların türevini veren kapalı türev (implicit differentiation) formülü. Sınavda hemen her zaman bir “find all second-order partials”, bir zincir kuralı ve bir related rates sorusu gelir.

Altın kurallar:

1. $f_x$ hesaplarken $y$ sayı gibi davranır. $y^2$, $\sin y$, $e^y$ hepsi sabit çarpandır.
2. $f_{xy}$ “önce $x$‘e, sonra $y$‘ye göre” demektir. Sürekli fonksiyonlarda sıra sonucu değiştirmez (Clairaut).
3. Zincir kuralında ağaç çiz: bağımlı değişkenden bağımsız değişkene giden her yol için türevleri çarp, yolları topla.
4. Kapalı türevde formülün başındaki eksi işaretini unutma: $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{F_x}{F_y}$.

Kısmi türev

Tanım.

$f_x(a,b) = \lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h},\qquad f_y(a,b) = \lim_{h\to0}\frac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h}.$

Gösterimler: $f_x = \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial z}{\partial x} = D_xf$.

Geometri. $z = f(x,y)$ yüzeyini $y = b$ düzlemiyle kes. Ortaya çıkan eğrinin $(a,b)$ noktasındaki eğimi $f_x(a,b)$‘dir. Yani $f_x$, $x$ yönünde yürürken yüzeyin ne kadar dik çıktığını ölçer. $f_y$ aynı şeyi $y$ yönünde yapar.

Örnek 1. $f(x,y) = x^3y^2+4xy-y^3$.

$f_x = 3x^2y^2+4y,\qquad f_y = 2x^3y+4x-3y^2.$

$(1,2)$‘de: $f_x = 12+8 = 20$, $f_y = 4+4-12 = -4$. Yani bu noktada $x$ yönünde yüzey hızla yükseliyor, $y$ yönünde alçalıyor.

Örnek 2 (zincir kuralı içeride). $f(x,y) = \sin(xy^2)$. $f_x = \cos(xy^2)\cdot y^2$. Burada $y^2$, iç fonksiyonun $x$‘e göre türevi. $f_y = \cos(xy^2)\cdot2xy$.

Örnek 3 (bölüm). $f(x,y) = \dfrac{x}{x+y}$. $f_x = \dfrac{(x+y)-x}{(x+y)^2} = \dfrac{y}{(x+y)^2}$. $f_y = \dfrac{0-x}{(x+y)^2} = -\dfrac{x}{(x+y)^2}$.

Üç değişkende de aynı: $f(x,y,z)$‘de $f_z$ için $x$ ve $y$ sabit.

TUZAK · sabit çarpan mı, değişken mi? $f = x^2e^y$ için $f_x = 2xe^y$. Çarpım kuralı uygulamaya gerek yok; $e^y$, $x$‘e göre sabit. Öte yandan $f_y = x^2e^y$, burada da $x^2$ sabit. Sınavda çarpım kuralını gereksiz yere uygulayıp hata yapan çok.

İkinci mertebe kısmi türevler

Kısmi türevin tekrar kısmi türevini alırsın. Dört tane var:

$f_{xx} = \frac{\partial^2f}{\partial x^2},\quad f_{yy} = \frac{\partial^2f}{\partial y^2},\quad f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2f}{\partial y\,\partial x},\quad f_{yx} = \frac{\partial^2f}{\partial x\,\partial y}.$

Gösterim tuzağı: alt indiste sıra soldan sağa ($f_{xy}$: önce $x$), $\partial$ gösteriminde sağdan sola okunur.

Clairaut teoremi. $f_{xy}$ ve $f_{yx}$, bir noktanın çevresinde sürekliyse o noktada eşittir. Ders kapsamındaki bütün fonksiyonlarda bu sağlanır, yani karışık türevi hangi sırayla alırsan al aynı sonuç çıkmalı. Bu, hesabını kontrol etmenin bedava yolu.

Örnek 4. $f(x,y) = xe^{xy}$.

f_x  = e^(xy) + x·y·e^(xy)                 (çarpım kuralı, x iki yerde)
f_xy = x·e^(xy) + [x·e^(xy) + x·y·x·e^(xy)] = 2x e^(xy) + x^2 y e^(xy)
f_y  = x·x·e^(xy) = x^2 e^(xy)
f_yx = 2x e^(xy) + x^2·y·e^(xy)            (aynı, Clairaut ✓)
(1,0) noktasında: f_xy = 2

Laplace denklemi. $u_{xx}+u_{yy} = 0$ denklemini sağlayan fonksiyonlara harmonik (harmonic) denir; ısı dağılımı ve elektrik potansiyeli bu denklemi sağlar. $u = e^x\sin y$: $u_{xx} = e^x\sin y$, $u_{yy} = -e^x\sin y$, toplam $0$.

Zincir kuralı

Tek parametre. $z = f(x,y)$, $x = x(t)$, $y = y(t)$ ise

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}.$

İki parametre. $x = x(s,t)$, $y = y(s,t)$ ise

$\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s},\qquad\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}.$

Ağaç diyagramı. En üste $z$, altına ara değişkenler ($x$, $y$), en alta bağımsız değişkenler ($s$, $t$). $z$‘den $s$‘ye giden her yol bir terim: yol üzerindeki türevleri çarp. Sonra bütün yolları topla. Bu kural her sayıda değişken için çalışır.

          z
        /   \
      x       y
     / \     / \
    s   t   s   t
∂z/∂s = (∂z/∂x)(∂x/∂s) + (∂z/∂y)(∂y/∂s)    ← iki yol: z-x-s ve z-y-s

Örnek 5. $z = x^2+y^2$, $x = t^2$, $y = 2t$. $\dfrac{dz}{dt} = 2x\cdot2t+2y\cdot2$. $t=1$‘de $x = 1$, $y = 2$: $4+8 = 12$. Kontrol: $z = t^4+4t^2$, $z' = 4t^3+8t = 12$ ✓.

Örnek 6 (üç ara değişken). $w = xyz$, $x = u+v$, $y = u-v$, $z = uv$. $\dfrac{\partial w}{\partial u} = yz\cdot1+xz\cdot1+xy\cdot v$. $(u,v) = (2,1)$: $x = 3$, $y = 1$, $z = 2$, sonuç $2+6+3 = 11$.

İPUCU · değerleri ne zaman koyarsın? Önce türev ifadesini genel olarak yaz. Sonra $s$, $t$ değerlerinden $x$, $y$ değerlerini hesapla. En son hepsini birden yerine koy. Ara değişkenlerin değerini hesaplamayı unutmak ($x$ yerine $s$‘yi koymak) en sık hata.

Related rates

Zincir kuralının fizik yüzü: birkaç büyüklük zamanla değişiyor, bileşik bir büyüklüğün değişim hızı soruluyor. Formülü yaz, $t$‘ye göre zincir kuralı uygula, verilen değerleri koy. Azalan bir büyüklüğün türevi negatif girilir.

Kapalı türev (implicit differentiation)

$F(x,y) = 0$ denklemi $y$‘yi $x$‘in fonksiyonu olarak tanımlıyorsa, zincir kuralından

$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}\qquad(F_y\neq0).$

Üç değişkende $F(x,y,z) = 0$, $z$‘yi $x,y$‘nin fonksiyonu olarak tanımlıyorsa

$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z},\qquad\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}.$

Örnek 7. $x^3+y^3 = 6xy$, $(3,3)$ noktasında (Descartes yaprağı). $F = x^3+y^3-6xy$. $F_x = 3x^2-6y = 9$, $F_y = 3y^2-6x = 9$. $\dfrac{dy}{dx} = -1$.

Neden eksi? $F(x,y(x)) = 0$ eşitliğinin $x$‘e göre türevi $F_x+F_y\dfrac{dy}{dx} = 0$. Çözünce eksi gelir.

Sık yapılan hatalar