Vektörler ve nokta çarpım (dot product)

6. haftanın ikinci yarısında dersin konusu tamamen değişiyor: serilerden üç boyutlu uzayın geometrisine geçiyoruz. Bundan sonraki her konu (doğrular ve düzlemler, yüzeyler, gradient, yönlü türev, teğet düzlem, Lagrange çarpanları) vektör diliyle yazılır. Bu yüzden bu sayfadaki işlemleri hızlı ve hatasız yapabilmen sonraki sekiz haftayı kolaylaştırır. Sınavda doğrudan “find the angle / projection / work” soruları gelir, ama asıl önemi sonraki konularda ara adım olarak sürekli kullanılması.

Altın kurallar:

1. Vektör = yön + uzunluk. Bileşenleri $\langle v_1,v_2,v_3\rangle$ ile yazılır. $\overrightarrow{PQ}$ = bitiş eksi başlangıç.
2. Nokta çarpımın sonucu bir sayıdır, vektör değil.
3. $\mathbf u\cdot\mathbf v = 0$ ise vektörler diktir. Bu, bütün diklik sorularının tek satırlık testi.
4. İzdüşümde paydada $\lvert\mathbf v\rvert^2$ (vektör izdüşüm), skaler bileşende $\lvert\mathbf v\rvert$ var. Karıştırma.

Vektörler: tanım ve temel işlemler

Uzayda bir noktayı $(x,y,z)$ ile, bir vektörü $\langle v_1,v_2,v_3\rangle$ ile gösteririz. Vektörün başlangıç noktası önemli değil; aynı yönü ve uzunluğu olan bütün oklar aynı vektördür. $P(x_1,y_1,z_1)$‘den $Q(x_2,y_2,z_2)$‘ye giden vektör

$\overrightarrow{PQ} = \langle x_2-x_1,\;y_2-y_1,\;z_2-z_1\rangle.$

Standart birim vektörlerle $\mathbf v = v_1\mathbf i+v_2\mathbf j+v_3\mathbf k$ diye de yazılır; $\mathbf i = \langle1,0,0\rangle$, $\mathbf j = \langle0,1,0\rangle$, $\mathbf k = \langle0,0,1\rangle$.

Birim vektörün uzunluğu $1$‘dir; sadece yönü taşır. ”$\mathbf v$ yönünde uzunluğu $5$ olan vektör” istenirse $5\dfrac{\mathbf v}{\lvert\mathbf v\rvert}$ yazarsın.

Sezgi. Toplama “uç uca ekleme”dir: önce $\mathbf u$ kadar git, sonra oradan $\mathbf v$ kadar git, vardığın yer $\mathbf u+\mathbf v$. Paralelkenar kuralı da aynı şeyi söyler.

Nokta çarpım (dot product)

Tanım.

$\mathbf u\cdot\mathbf v = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.$

Geometrik anlam. $\theta$ iki vektör arasındaki açı ($0\le\theta\le\pi$) ise

$\mathbf u\cdot\mathbf v = \lvert\mathbf u\rvert\,\lvert\mathbf v\rvert\cos\theta\qquad\Longrightarrow\qquad\cos\theta = \frac{\mathbf u\cdot\mathbf v}{\lvert\mathbf u\rvert\,\lvert\mathbf v\rvert}.$

Özellikler. $\mathbf u\cdot\mathbf v = \mathbf v\cdot\mathbf u$; $\mathbf u\cdot(\mathbf v+\mathbf w) = \mathbf u\cdot\mathbf v+\mathbf u\cdot\mathbf w$; $\mathbf v\cdot\mathbf v = \lvert\mathbf v\rvert^2$; $\mathbf 0\cdot\mathbf v = 0$.

Sezgi. Nokta çarpım “iki vektör aynı yöne ne kadar bakıyor” sorusunun cevabı. Aynı yöndelerse $\cos\theta = 1$ ve çarpım en büyük. Dikse $0$. Zıt yöndelerse negatif.

Örnek 1. $\mathbf u = \langle2,-1,3\rangle$, $\mathbf v = \langle1,4,-2\rangle$ arasındaki açı.

u·v   = 2·1 + (-1)·4 + 3·(-2) = 2 - 4 - 6 = -8
|u|   = √(4+1+9)  = √14
|v|   = √(1+16+4) = √21
cos θ = -8/√294 ≈ -0.4666
θ     ≈ 117.81°     (negatif çarpım → geniş açı, tutarlı)

Örnek 2 (diklik). $\langle1,2,3\rangle$ ile $\langle3,0,-1\rangle$: $3+0-3 = 0$, diktir.

TUZAK · açının aralığı. $\arccos$ her zaman $[0,\pi]$ aralığında değer verir. Vektörler arası açı negatif ya da $180^\circ$‘den büyük olamaz. Hesap makinesini doğru modda (derece/radyan) kullan ve sorunun hangisini istediğine bak.

İzdüşüm (projection)

$\mathbf u$‘nun $\mathbf v$ üzerine izdüşümü, $\mathbf u$‘nun ucundan $\mathbf v$ doğrultusuna dik inince oluşan gölgedir.

$\text{proj}_{\mathbf v}\mathbf u = \left(\frac{\mathbf u\cdot\mathbf v}{\lvert\mathbf v\rvert^2}\right)\mathbf v\qquad\text{(vektör)}$

$\text{comp}_{\mathbf v}\mathbf u = \frac{\mathbf u\cdot\mathbf v}{\lvert\mathbf v\rvert} = \lvert\mathbf u\rvert\cos\theta\qquad\text{(skaler, işaretli uzunluk)}$

İzdüşüm $\mathbf v$‘ye paraleldir. $\mathbf u-\text{proj}_{\mathbf v}\mathbf u$ ise $\mathbf v$‘ye diktir. Böylece her vektörü “paralel + dik” diye iki parçaya ayırabilirsin. Fizikte bir kuvveti eğik düzleme paralel ve dik bileşenlerine ayırmak tam olarak bu.

Örnek 3. Örnek 1’deki vektörlerle: $\text{proj}_{\mathbf v}\mathbf u = \dfrac{-8}{21}\langle1,4,-2\rangle$. Katsayı negatif, yani izdüşüm $\mathbf v$‘nin tersi yönünde. Bu da açının geniş olmasıyla tutarlı.

İPUCU · hangisinin üzerine? $\text{proj}_{\mathbf v}\mathbf u$‘da paydada üzerine izdüşüm alınan vektörün ($\mathbf v$) uzunluğu var ve sonuç onun yönünde. $\mathbf u$ ile $\mathbf v$‘yi yer değiştirirsen bambaşka bir vektör bulursun.

Yön açıları ve yön kosinüsleri

$\mathbf v$‘nin $x$, $y$, $z$ eksenleriyle yaptığı açılar $\alpha,\beta,\gamma$:

$\cos\alpha = \frac{v_1}{\lvert\mathbf v\rvert},\quad\cos\beta = \frac{v_2}{\lvert\mathbf v\rvert},\quad\cos\gamma = \frac{v_3}{\lvert\mathbf v\rvert},\qquad\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma = 1.$

Yön kosinüsleri aslında birim vektörün bileşenleri. Bu yüzden kareleri toplamı $1$.

İş (work)

Sabit bir $\mathbf F$ kuvveti cismi $\mathbf D$ kadar yer değiştirirse yapılan iş

$W = \mathbf F\cdot\mathbf D = \lvert\mathbf F\rvert\,\lvert\mathbf D\rvert\cos\theta.$

Sadece kuvvetin hareket yönündeki bileşeni iş yapar. Kuvvet hareket yönüne dikse iş sıfır.

Örnek 4. $\lvert\mathbf F\rvert = 5$ N, $\mathbf F = \langle3,0,4\rangle$ ve cisim $\langle6,0,8\rangle$ m kadar yer değiştiriyor: $W = 18+32 = 50$ J. Kuvvet ve yer değiştirme aynı yönde ($\mathbf D = 2\mathbf F$), $\cos\theta = 1$, $W = 5\cdot10 = 50$. İki yoldan aynı sonuç.

Örnek 5 (açı verilerek). $40$ N’luk bir kuvvet yatayla $60^\circ$ açı yapan bir iple bir kutuyu yatayda $10$ m çekiyor: $W = 40\cdot10\cdot\cos60^\circ = 200$ J.

Sık yapılan hatalar