Diziler ve sonsuz seriler

Bu hafta iki ayrı nesneyi birbirinden ayırmayı öğreneceksin: dizi (sequence) bir sayı listesidir, seri (series) o listenin terimlerinin toplamıdır. Sınavda en çok yapılan hata ikisini karıştırmak. "$a_n\to 0$" bir dizi cümlesidir; ”$\sum a_n$ yakınsar” bir seri cümlesidir ve birincisi ikincisini garanti etmez.

Altın kurallar:

1. Dizi limiti, fonksiyon limitiyle aynı araçlarla bulunur: cebir, hazır limitler, L’Hôpital (önce $x$ değişkenine geç), sıkıştırma.
2. Serinin toplamı kısmi toplamların limitidir: $\sum a_n = \lim s_n$.
3. Teleskopik serilerde $s_n$‘yi açık formülle yaz, sonra limit al. “Gözle sadeleştirme” puan kaybettirir.
4. $a_n = s_n - s_{n-1}$. Kısmi toplamdan terime geri dönebilirsin.

Diziler

Bir dizi, pozitif tam sayılardan reel sayılara bir fonksiyondur: $a_1, a_2, a_3,\dots$ Her $\varepsilon>0$ için öyle bir $N$ varsa ki $n>N$ iken $\lvert a_n-L\rvert<\varepsilon$ oluyorsa dizi $L$‘ye yakınsar (converges): $\lim_{n\to\infty}a_n = L$. Böyle bir $L$ yoksa (ya da terimler $\pm\infty$‘a gidiyorsa) dizi ıraksar (diverges).

Sezgi. Dizinin “kuyruğu” $L$‘nin istediğin kadar dar bir bandına girip bir daha çıkmıyorsa limit $L$. Baştaki sonlu sayıda terim limiti etkilemez.

Limit kuralları ve araçlar

Toplam, fark, çarpım, bölüm (payda limiti sıfır değilse) ve sabitle çarpım kuralları fonksiyonlardaki gibidir. Ek olarak:

• Fonksiyondan diziye. $f(x)\to L$ ($x\to\infty$) ve $a_n = f(n)$ ise $a_n\to L$. Bu sayede L’Hôpital kullanabilirsin. Doğrudan $n$‘ye göre türev alınmaz; önce $f(x)$ yaz.
• Sürekli fonksiyon. $a_n\to L$ ve $g$ sürekli ise $g(a_n)\to g(L)$.
• Sıkıştırma (squeeze). $b_n\le a_n\le c_n$ ve $b_n, c_n\to L$ ise $a_n\to L$. Özel hali: $\lvert a_n\rvert\to 0$ ise $a_n\to 0$.

Ezberlenecek limitler

Büyüme sıralaması: $\ln n \ll n^p \ll c^n \ll n! \ll n^n$ ($p>0$, $c>1$). Bir kesirde paydadaki daha hızlı büyüyorsa limit $0$.

Örnek 1. $\dfrac{2n^2+1}{5n^2-n}$. $n^2$‘ye böl: $\dfrac{2+1/n^2}{5-1/n}\to\dfrac25$.

Örnek 2. $\dfrac{\cos n}{n}$. $\left\lvert\dfrac{\cos n}{n}\right\rvert\le\dfrac1n\to0$, yani limit $0$.

Örnek 3. $\dfrac{n}{2^n}$. $f(x) = x/2^x$ için L’Hôpital: $\dfrac{1}{2^x\ln 2}\to 0$. Dizi de $0$‘a gider.

Örnek 4. $\left(1-\dfrac1n\right)^n$. Hazır limitte $x=-1$: $e^{-1}$.

Örnek 4b. $n^{1/n}\to 1$ neden doğru? $y = x^{1/x}$ yaz, $\ln y = \dfrac{\ln x}{x}$. L’Hôpital: $\dfrac{1/x}{1}\to 0$. Yani $\ln y\to0$, $y\to e^0=1$. Aynı yöntemle $n^{3/n}$, $(n^2+1)^{1/n}$ gibi dizilerin de $1$‘e gittiğini gösterirsin. Kalıp hep aynı: üs $1/n$ ise $\ln$ al, $\infty/\infty$ çıkar, L’Hôpital uygula.

İşaret değiştiren diziler

$(-1)^n$ çarpanı terimleri pozitif ve negatif arasında sallar. İki durum var:

• $b_n\to0$ ise $(-1)^nb_n\to0$. Sebep: $\lvert(-1)^nb_n\rvert = \lvert b_n\rvert\to0$.
• $b_n\to L\neq0$ ise $(-1)^nb_n$ çift indekslerde $L$‘ye, tek indekslerde $-L$‘ye yaklaşır. İki farklı yığılma noktası var, limit yok.

Genel ilke: bir dizinin iki alt dizisi (subsequence) farklı limitlere gidiyorsa dizi ıraksar. $\cos(n\pi) = (-1)^n$ da aynı nedenle ıraksar. Ama $\cos(n\pi)/n\to 0$.

Örnek 4c. $a_n = \dfrac{(-1)^n n^2}{n^3+1}$. Mutlak değer $\dfrac{n^2}{n^3+1}\to0$, dolayısıyla $a_n\to0$. Payın derecesi paydadan küçük olduğu için işaret önemli değil.

Monoton ve sınırlı diziler

Dizi her adımda büyüyorsa (ya da küçülmüyorsa) monoton artan (nondecreasing), bir $M$ sayısını hiç geçmiyorsa üstten sınırlı (bounded above). Monotone Sequence Theorem: monoton ve sınırlı her dizi yakınsar. Teorem limitin değerini vermez, sadece var olduğunu söyler. Değeri özyinelemeli dizilerde şöyle bulursun:

Örnek 5. $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \dfrac{a_n+6}{2}$. Terimler: $1,\ 3.5,\ 4.75,\ 5.375,\dots$ artıyor ve $6$‘yı geçmiyor (çünkü $a_n<6$ ise $a_{n+1}<6$). Limit $L$ ise $L = \dfrac{L+6}{2}$, buradan $L = 6$.

TUZAK · önce yakınsaklık. "$L = f(L)$" denklemini kurmak, limitin var olduğunu varsayar. $a_{n+1} = 2a_n$, $a_1=1$ dizisinde denklem $L=0$ verir ama dizi $1,2,4,8,\dots$ ıraksar. Sınavda “assuming it converges” yazmıyorsa monoton ve sınırlı olduğunu da göster.

Sonsuz seriler

$\sum_{n=1}^\infty a_n$ ifadesinin anlamı şudur. Kısmi toplamlar (partial sums) dizisini kur:

$s_1 = a_1,\quad s_2 = a_1+a_2,\quad\dots,\quad s_n = \sum_{k=1}^{n}a_k.$

$s_n\to S$ ise seri yakınsar ve toplamı $S$‘dir. $s_n$‘nin limiti yoksa seri ıraksar. Yani her seri sorusu aslında bir dizi sorusudur: $s_n$ dizisinin limiti.

Terimden kısmi toplama, geri. $s_n$ verilirse $a_n = s_n - s_{n-1}$ ($n\ge2$) ve $a_1 = s_1$.

Örnek 5b. Bir serinin kısmi toplamı $s_n = 3-\dfrac{1}{n}$ veriliyor. O zaman $a_1 = s_1 = 2$, $n\ge2$ için $a_n = \left(3-\dfrac1n\right)-\left(3-\dfrac{1}{n-1}\right) = \dfrac{1}{n-1}-\dfrac1n = \dfrac{1}{n(n-1)}$. Toplam $\lim s_n = 3$. Dikkat: $a_n\to0$ ama toplam $0$ değil, $3$. Terimin limiti ile serinin toplamı tamamen ayrı şeyler.

Serilerle işlem kuralları

$\sum a_n = A$ ve $\sum b_n = B$ ise

$\sum(a_n\pm b_n) = A\pm B,\qquad \sum c\,a_n = cA.$

Sonuçları:

• Yakınsak + ıraksak = ıraksak. ($\sum(\frac1n+\frac1{2^n})$ ıraksar.)
• Iraksak + ıraksak hakkında genel bir şey söylenemez. $\sum 1 + \sum(-1)$ terim terim $\sum 0 = 0$ verir.
• Sonlu sayıda terim eklemek ya da atmak yakınsaklığı değiştirmez, sadece toplamı değiştirir. $\sum_{n=1}^\infty a_n$ ile $\sum_{n=10}^\infty a_n$ aynı kaderi paylaşır. Bu yüzden testlerde “yeterince büyük $n$ için” demek yeterli.
• İndeks kaydırma: $\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=0}^\infty a_{n+1}$. Toplamı değiştirmez, sadece yazılışı.

Teleskopik seriler

Terim $b_n - b_{n+k}$ biçimine getirilebiliyorsa kısmi toplamda ara terimler birbirini götürür.

Örnek 6. $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}$. Kısmi kesir: $\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac1n-\dfrac{1}{n+1}$.

s_n = (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ... + (1/n - 1/(n+1))
    = 1 - 1/(n+1)          (ara terimler sadeleşti)
lim s_n = 1

Örnek 7. $\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\frac{2}{n^2-1}$. $\dfrac{2}{(n-1)(n+1)} = \dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}$. Bu sefer terimler iki adım arayla sadeleşir:

n=2: 1   - 1/3
n=3: 1/2 - 1/4
n=4: 1/3 - 1/5      ← 1/3 burada sadeleşti
n=5: 1/4 - 1/6
...
s_n = 1 + 1/2 - 1/n - 1/(n+1)  →  3/2

Kaç terimin kaldığını bulmanın kuralı: fark $b_n - b_{n+k}$ ise baştan $k$ tane pozitif, sondan $k$ tane negatif terim kalır.

İPUCU · başlangıç indeksine bak. Örnek 7 $n=2$‘den başlıyor. $n=1$‘den başlasaydı terim tanımsız olurdu ($n^2-1=0$). Kalan terimleri hep ilk indekse göre yaz.

Dizi yakınsar, seri ıraksar

Harmonik seri $\sum\frac1n$‘nin terimleri $0$‘a gider, ama toplam sonsuz. Gruplayarak görebilirsin:

$1+\tfrac12+\underbrace{\tfrac13+\tfrac14}_{>1/2}+\underbrace{\tfrac15+\dots+\tfrac18}_{>1/2}+\underbrace{\tfrac19+\dots+\tfrac1{16}}_{>1/2}+\dots$

Her grup en az $1/2$ ekliyor, sonsuz grup var. Aynı şekilde $\sum\frac{1}{\sqrt n}$ de ıraksar. Önümüzdeki iki haftanın konusu tam olarak bu: terimler sıfıra giderken serinin yakınsayıp yakınsamadığını hangi testle anlarsın.

Sık yapılan hatalar