İlişkili oranlar ve ekstremum değerler

Bu hafta türev ilk kez “gerçek dünyaya” çıkıyor. İki farklı soru tipi var, ikisi de sözel ve ikisi de çok sık çıkar. İlişkili oranlar (related rates) sorusunda birbirine bağlı büyüklükler zamanla değişir; birinin hızını verip diğerininkini sorarlar. Ekstremum sorusunda bir fonksiyonun bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerini bulursun. İkisinin de bir algoritması var; algoritmayı bilen soruyu kaçırmaz.

1. Related rates’te sayıları en son koy. Önce genel denklemi türevle.
2. Zaman değişkeni gizli. Her büyüklük $t$‘nin fonksiyonu, türev alırken zincir kuralı otomatik devrede.
3. Azalan bir büyüklüğün hızı negatif yazılır.
4. Kritik nokta: $f'=0$ ya da $f'$ tanımsız.
5. Kapalı aralıkta uç noktaları da test et. En büyük değer çoğu zaman uçta çıkar.

İlişkili oranlar (related rates)

Bir balonun yarıçapı büyüyorsa hacmi de büyür. $V=\frac43\pi r^3$ bağıntısı, iki büyüklüğün değişim hızları arasında da bir bağıntı verir. Bunu görmek için iki tarafın $t$‘ye göre türevini al:

$\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$

$r$, $t$‘nin fonksiyonu olduğu için $r^3$‘ün türevi $3r^2\dfrac{dr}{dt}$ (zincir kuralı). Bu formül her an doğru. Belirli bir andaki sayıları yerine koyunca bilinmeyen hız çıkar.

Beş adımlı yöntem

1. Şekil çiz. Değişen her büyüklüğe harf ver (x, y, r, h, θ).
2. Verileni ve isteneni türev olarak yaz:  dx/dt = 0.5,  dy/dt = ?
3. Değişkenleri bağlayan denklemi kur (Pisagor, hacim, benzer üçgen, tan).
4. Denklemin t'ye göre türevini al.
5. O andaki değerleri (gerekirse denklemden hesaplayarak) yerine koy, çöz.

Örnek 1 (alan). Dairesel bir petrol lekesinin yarıçapı $2$ m/s hızla büyüyor. Yarıçap $30$ m iken alan ne hızla büyür?

$A=\pi r^2 \Rightarrow \dfrac{dA}{dt}=2\pi r\dfrac{dr}{dt}=2\pi(30)(2)=120\pi\approx377$ m²/s.

Örnek 2 (Pisagor). Bir uçak $3$ km irtifada yatay olarak $500$ km/sa hızla uçuyor ve tam bir radar istasyonunun üstünden geçmiş. Radar ile uçak arası uzaklık $5$ km iken bu uzaklık ne hızla artıyor?

x: yerdeki yatay mesafe, D: radar-uçak mesafesi, irtifa sabit 3
D^2 = x^2 + 9                  (sabit 3 türevden önce yazılabilir, değişmiyor)
2D D' = 2x x'   ->   D' = x x' / D
o anda: D = 5  ->  x = sqrt(25 - 9) = 4
D' = 4 · 500 / 5 = 400 km/sa

Örnek 3 (açı). Bir kamera, fırlatma rampasından $30$ m uzakta. Roket dikey olarak $10$ m/s hızla yükseliyor. Roket $40$ m yükseklikteyken kameranın yükselme açısı ne hızla değişiyor?

$\tan\theta=\dfrac{h}{30}$. Türev: $\sec^2\theta\cdot\theta'=\dfrac{h'}{30}$. O anda $\tan\theta=\tfrac43$, $\sec^2\theta=1+\tfrac{16}{9}=\tfrac{25}{9}$. $\theta'=\dfrac{10}{30}\cdot\dfrac{9}{25}=\dfrac{3}{25}=0.12$ rad/s.

TUZAK · sayıyı türevden önce koymak. Merdiven sorusunda $x=5$‘i türevden önce koyarsan $25+y^2=169$ olur, türevi $2yy'=0$ çıkar, sonuç saçma. Değişen bir büyüklüğün anlık değerini sadece türevden sonra koy. Değişmeyen sabitleri (merdiven boyu $13$, koninin $r/h$ oranı, uçağın irtifası) önceden koyabilirsin.

Koni ve benzer üçgen

Koni sorularında $V=\frac13\pi r^2h$ iki değişkenli. Su derinliği ve yüzey yarıçapı benzer üçgenle bağlı: $\dfrac rh=\dfrac{R}{H}$ (tankın ölçüleri). $r$‘yi $h$ cinsinden yaz, $V$‘yi tek değişkene indir, sonra türev al. Böylece $\dfrac{dr}{dt}$ gibi bilinmeyen ikinci bir hızla uğraşmazsın.

Ekstremum değerler (extreme values)

• $f(c)\ge f(x)$ tanım kümesindeki her $x$ için ise $f(c)$ mutlak maksimum (absolute maximum).
• $c$‘nin yakınındaki her $x$ için $f(c)\ge f(x)$ ise yerel maksimum (local maximum). Minimum için eşitsizlik ters.

Ekstremum Değer Teoremi (Extreme Value Theorem): $f$ kapalı $[a,b]$ aralığında sürekliyse mutlak maksimum ve minimum kesin vardır. Açık aralıkta ya da süreksiz fonksiyonda garanti yok: $\tfrac1x$, $(0,1)$‘de ne max ne min alır.

Fermat teoremi ve kritik noktalar

$f$‘in iç bir $c$ noktasında yerel ekstremumu varsa ve $f'(c)$ varsa, $f'(c)=0$. Tepede ya da çukurda teğet yataydır.

Bu yüzden ekstremum adayları kritik noktalardır (critical numbers): $f$‘in tanımlı olduğu, $f'(c)=0$ ya da $f'(c)$‘nin tanımsız olduğu $c$ değerleri.

Ters yön doğru değil: $f(x)=x^3$ için $f'(0)=0$ ama $0$‘da ekstremum yok, grafik düz geçip artmaya devam ediyor. Kritik nokta bir aday, garanti değil.

Örnek 4 (köşeli kritik nokta). $f(x)=x^{1/3}(4-x)=4x^{1/3}-x^{4/3}$.

$f'(x)=\frac43x^{-2/3}-\frac43x^{1/3}=\frac43x^{-2/3}(1-x)=\frac{4(1-x)}{3\sqrt[3]{x^2}}$

$f'=0$: $x=1$. $f'$ tanımsız: $x=0$, ve $f(0)=0$ tanımlı. Kritik noktalar $0$ ve $1$. Kesirli kuvvetlerde paydada kalan kök hep bir kritik nokta üretir; sınavda en çok unutulan aday bu.

Kapalı aralık yöntemi (closed interval method)

$[a,b]$‘de sürekli $f$‘in mutlak ekstremumlarını bulmak için:

1. f'(x) hesapla, (a,b) içindeki kritik noktaları bul.
2. f'yi kritik noktalarda ve uç noktalar a, b'de hesapla.
3. En büyük değer mutlak max, en küçük değer mutlak min.

İkinci türev testine, işaret tablosuna gerek yok. Sadece değer tablosu.

Örnek 5. $f(x)=2x^3-3x^2-12x+1$, $[-2,3]$.

$f'(x)=6x^2-6x-12=6(x-2)(x+1)$. Kritik noktalar $-1$ ve $2$, ikisi de aralıkta.

Mutlak maksimum $8$ ($x=-1$‘de), mutlak minimum $-19$ ($x=2$‘de). Cevapta hem değeri hem yeri yaz; soru “values” diyorsa değer, “where” diyorsa yer.

TUZAK · aralık dışındaki kritik nokta. $[0,1]$ aralığında çalışırken $x=2$ kritik noktası çıktıysa tabloya koyma. Aralık dışındaki değer, aralıktaki max/min’i belirlemez.

TUZAK · uç noktayı unutmak. Örnek 5’te $[-2,4]$ olsaydı $f(4)=128-48-48+1=33$ en büyük değer olurdu. Kritik noktada yatay teğet var diye max orada değildir.

Sık yapılan hatalar