Determinant özellikleri, adjoint ve Cramer kuralı

Geçen hafta determinantı hesapladık. Bu hafta onu kullanıyoruz: bir matrisin tersinir olup olmadığını tek sayıyla söylemek, çarpımların determinantını hiç çarpmadan bulmak, tersi adjoint ile formül olarak yazmak ve sistemleri Cramer kuralıyla çözmek. Vizede “det A = −2 verildi, şunları bul” tipi kısa sorular neredeyse kesin gelir ve en ucuz puanlardır.

Altın kurallar:

1. $\det(cA) = c^n\det A$. $n$‘yi unutma.
2. $\det(AB) = \det A\det B$ ama $\det(A + B)$ için kural yok.
3. Adjoint = kofaktör matrisinin transpozu.
4. Cramer’de $\mathbf{b}$ bir sütunun yerine konur.

Temel özellikler

$A$, $B$ $n \times n$, $c$ bir sayı:

Örnek. $P = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$, $Q = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$: $\det P = -2$, $\det Q = 6$, $\det(PQ) = -12$. Ama $P + Q = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 7 \end{bmatrix}$, $\det = 13 \neq -2 + 6$.

TUZAK · det(2A) = 2 det A. $3 \times 3$ için $\det(2A) = 8\det A$, $4 \times 4$ için $16\det A$. Hatırlama yolu: $2A$‘da her satır 2 ile çarpılmış, her satırdan bir 2 dışarı çıkar.

Bileşik soru stratejisi. "$\det(2A^TB^{-1}A^2)$" gibi bir ifadede önce sabiti ayır ($2^n$), sonra her çarpanın determinantını yaz ve çarp: $2^n \cdot \det A \cdot \frac{1}{\det B} \cdot (\det A)^2$.

Determinant ve tersinirlik

$A \text{ tersinir} \iff \det A \neq 0.$

Neden: $A$‘yı satır işlemleriyle RREF’e indir. Her işlem determinantı sıfır olmayan bir sayıyla çarpar ya da değiştirmez. RREF $I$ ise $\det \neq 0$; RREF’te sıfır satır varsa $\det = 0$.

Böylece tersinir matris teoremine bir madde daha ekledik. Kare $A$ için şunlar denktir: $A$ tersinir, $\det A \neq 0$, $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ sadece trivial çözümlü, $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ her $\mathbf{b}$ için tek çözümlü, $A \sim I$.

“For which $k$ is the system uniquely solvable?” sorusu kare sistemde artık bir satır: $\det A$‘yı $k$ cinsinden hesapla, sıfır yapan değerleri çıkar (Q7). Hangi $k$‘da çözümsüz, hangisinde sonsuz olduğunu ayırt etmek içinse yine elemeye dönmen gerekir; determinant ikisini ayırmaz.

Adjoint (ek matris)

$A$‘nın bütün kofaktörlerini yerlerine yaz: kofaktör matrisi $[C_{ij}]$. Bunun transpozu adjointtir (adjugate):

$\operatorname{adj}A = [C_{ij}]^T.$

Temel özdeşlik:

$A \cdot \operatorname{adj}A = \operatorname{adj}A \cdot A = (\det A)I \qquad\Rightarrow\qquad A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{adj}A.$

Köşegen elemanlar $\det A$ çıkar çünkü bu, bir satırın kendi kofaktörleriyle açılımıdır. Köşegen dışı 0 çıkar çünkü bir satırı başka bir satırın kofaktörleriyle çarpmak, iki satırı eşit bir matrisin determinantını hesaplamaktır.

Örnek. $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$.

C11 = +(1·0 - 3·1) = -3     C12 = -(0·0 - 3·2) = 6      C13 = +(0·1 - 1·2) = -2
C21 = -(2·0 - 1·1) = 1      C22 = +(1·0 - 1·2) = -2     C23 = -(1·1 - 2·2) = 3
C31 = +(2·3 - 1·1) = 5      C32 = -(1·3 - 1·0) = -3     C33 = +(1·1 - 2·0) = 1
det A = a11 C11 + a12 C12 + a13 C13 = 1(-3) + 2(6) + 1(-2) = 7

$[C_{ij}] = \begin{bmatrix} -3 & 6 & -2 \\ 1 & -2 & 3 \\ 5 & -3 & 1 \end{bmatrix} \quad\Rightarrow\quad \operatorname{adj}A = \begin{bmatrix} -3 & 1 & 5 \\ 6 & -2 & -3 \\ -2 & 3 & 1 \end{bmatrix}, \qquad A^{-1} = \frac17\begin{bmatrix} -3 & 1 & 5 \\ 6 & -2 & -3 \\ -2 & 3 & 1 \end{bmatrix}.$

Kontrol: $(A\operatorname{adj}A)_{11} = 1(-3) + 2(6) + 1(-2) = 7$, $(A\operatorname{adj}A)_{12} = 1(1) + 2(-2) + 1(3) = 0$.

$2 \times 2$‘de adjoint formülü bildiğin tarife iner: $\operatorname{adj}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$.

Adjoint’in determinantı. $A\operatorname{adj}A = (\det A)I_n$‘in determinantını al: $\det A \cdot \det(\operatorname{adj}A) = (\det A)^n$, yani $\det(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-1}$.

TUZAK · transpozu unutmak. Kofaktör matrisini doğrudan $\operatorname{adj}A$ diye yazmak en sık puan kaybı. Simetrik olmayan bir matriste sonuç yanlış olur. Kontrol: $A\operatorname{adj}A$‘nın köşegen dışı elemanları 0 çıkmalı.

Cramer kuralı

$A$ $n \times n$ ve $\det A \neq 0$ ise $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$‘nin tek çözümü

$x_i = \frac{\det A_i}{\det A}, \qquad A_i = A\text{'nın } i.\text{ sütunu yerine } \mathbf{b} \text{ konmuş matris}.$

2×2 örnek. $2x + 5y = 1$, $x + 3y = 2$.

$\det A = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 1, \quad \det A_1 = \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -7, \quad \det A_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3 \quad\Rightarrow\quad x = -7,\ y = 3.$

3×3 örnek. Yukarıdaki $A$ ile $x + 2y + z = 1$, $y + 3z = 5$, $2x + y = 1$. $\det A = 7$.

$\det A_1 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 7, \quad \det A_2 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 5 & 3 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = -7, \quad \det A_3 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 5 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 14.$

det A1 (1. satır): 1(0 - 3) - 2(0 - 3) + 1(5 - 1)   = -3 + 6 + 4   = 7
det A2 (1. satır): 1(0 - 3) - 1(0 - 6) + 1(0 - 10)  = -3 + 6 - 10  = -7
det A3 (1. satır): 1(1 - 5) - 2(0 - 10) + 1(0 - 2)  = -4 + 20 - 2  = 14
x = 7/7 = 1,  y = -7/7 = -1,  z = 14/7 = 2

Kontrol (3. denklem): $2(1) + (-1) = 1$.

Ne zaman Cramer? Küçük sistemlerde (2×2, 3×3), özellikle tek bir değişken istendiğinde. Büyük sistemlerde Gauss eleme çok daha az işlem ister. $\det A = 0$ ise Cramer hiçbir şey söylemez: sistem ya çözümsüz ya sonsuz çözümlüdür, elemeyle karar verirsin.

Uygulama: alan

Köşeleri $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $(x_3, y_3)$ olan üçgenin alanı

$\text{Alan} = \frac12\left|\det\begin{bmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{bmatrix}\right|.$

Determinant 0 ise üç nokta aynı doğru üzerindedir (collinear). Aynı fikir $2 \times 2$‘de: $\left|\det[\mathbf{u}\ \mathbf{v}]\right|$, $\mathbf{u}$ ve $\mathbf{v}$‘nin gerdiği paralelkenarın alanıdır.

Sık yapılan hatalar