Determinant: kofaktör açılımı ve satır işlemleriyle hesap

Determinant, kare bir matrise tek bir sayı atar ve o sayı matris hakkında çok şey söyler: sıfırsa matris tekildir, sistem tek çözümlü değildir, sütunlar bağımlıdır. Bu hafta sayıyı hesaplamayı öğreniyoruz; gelecek hafta özelliklerini ve kullanımlarını (Cramer, adjoint). Problem kitabının en sevdiği yöntem satır işlemleriyle üçgen yapmak, o yüzden ağırlık orada.

Altın kurallar:

1. Kofaktör açarken en çok sıfır olan satır ya da sütunu seç.
2. İşaret tablosunu kâğıdın köşesine çiz: sol üst $+$, sonra satranç tahtası.
3. Satır işleminde tercih: $R_i \leftarrow R_i + cR_j$. Determinantı değiştirmez.
4. Satır değiştirdiysen $(-1)$, satırı $c$ ile çarptıysan $c$ çarpanını takip et.

2×2 ve 3×3 determinant

$\det\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc.$

$\det A$ ve $|A|$ aynı şeyin iki yazılışıdır. ($|A|$ burada mutlak değer değil; determinant negatif olabilir.)

Minör ve kofaktör

$n \times n$ bir $A$ için:

• Minör (minor) $M_{ij}$: $A$‘dan $i$. satır ve $j$. sütun silinince kalan $(n-1) \times (n-1)$ matrisin determinantı.
• Kofaktör (cofactor) $C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$.

$(-1)^{i+j}$ işareti satranç tahtası deseni verir:

$\begin{bmatrix} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{bmatrix}$

Kofaktör açılımı

Determinant, herhangi bir satır ya da sütun boyunca açılabilir ve hep aynı sonucu verir:

$\det A = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \dots + a_{in}C_{in} \quad (i.\ \text{satır}), \qquad \det A = a_{1j}C_{1j} + \dots + a_{nj}C_{nj} \quad (j.\ \text{sütun}).$

Sıfır elemanın terimi zaten sıfır olduğu için en çok sıfır içeren satırı seçmek işi kısaltır.

Örnek 1. $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & 4 \\ -2 & 5 & 1 \end{bmatrix}$. 2. sütunda bir sıfır var, oradan açalım. İşaretler sütun 2 için $-, +, -$.

C12 = (-1)^(1+2) · det[1 4; -2 1] = -(1 + 8)  = -9
C22 = çarpanı a22 = 0, hesaplamaya gerek yok
C32 = (-1)^(3+2) · det[2 3; 1 4]  = -(8 - 3)  = -5
det A = (-1)(-9) + 0 + (5)(-5) = 9 - 25 = -16

Sarrus kuralı (sadece 3×3). İlk iki sütunu sağa tekrar yaz. Aşağı inen üç çaprazın çarpımlarını topla, yukarı çıkan üçün çarpımlarını çıkar. Aynı matris için: aşağı $0 + 8 + 15 = 23$, yukarı $0 + 40 - 1 = 39$, $\det = 23 - 39 = -16$. Sarrus $4 \times 4$‘te çalışmaz.

Örnek 2 (4×4, sıfırları kullan).

$\det\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} = 4 \cdot (+1) \cdot \det\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} = 4 \cdot 1 \cdot (3 - 0) = 12.$

3. satırda tek eleman var ($a_{33} = 4$, işaret $+$). Kalan $3 \times 3$‘ü 1. satırdan açtık: sadece $1 \cdot (1 \cdot 3 - 2 \cdot 0) = 3$.

Üçgen matrisler

Üst üçgen, alt üçgen ya da köşegen bir matrisin determinantı köşegen elemanlarının çarpımıdır:

$\det\begin{bmatrix} 2 & 5 & -1 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix} = 2 \cdot (-3) \cdot 6 = -36.$

Neden? İlk sütundan açarsan sadece $a_{11}$ kalır, kalan matris de üçgen, tekrar et. Bu kural bir sonraki yöntemin temeli.

Satır işlemleriyle determinant

Kofaktör açılımı $n \times n$ için yaklaşık $n!$ çarpma ister; $4 \times 4$‘te zahmetli, $5 \times 5$‘te kâbus. Daha iyi yol: matrisi satır işlemleriyle üçgen yap, köşegeni çarp, yaptığın işlemlerin etkisini hesaba kat.

Pratikte bir satırdan ortak çarpan çıkarmak daha doğal düşünülür: $\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}$.

Örnek 3. $\det A$, $A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & -2 & 6 \\ 1 & 3 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 3 & 6 & 1 & 10 \end{bmatrix}$.

1. satırdan 2’yi dışarı al: $\det A = 2 \det A'$, $A'$‘nin 1. satırı $(1, 2, -1, 3)$. Sonra sadece ekleme işlemi:

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 3 & 6 & 1 & 10 \end{bmatrix} \xrightarrow[R_4 \leftarrow R_4 - 3R_1]{R_2 \leftarrow R_2 - R_1} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 - R_2} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_4 \leftarrow R_4 - 4R_3} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Köşegen çarpımı 1. Başta dışarı aldığımız 2 ile: $\det A = 2 \cdot 1 = 2$.

TUZAK · “I’ya indirdim, det = 1”. $A$‘yı $I$‘ya indirdin diye $\det A = 1$ olmaz. Yol boyunca her değiştirme $(-1)$, her $\frac1c R_i$ ölçeklemesi bir $c$ çarpanı bırakır. Hepsini topla, sonra karar ver.

TUZAK · karışık işlem. $R_2 \leftarrow 3R_2 - R_1$ tek adımda yazılınca masum görünür, ama içinde $R_2 \leftarrow 3R_2$ gizli: determinant 3 ile çarpılır. Sistemlerde zararsız, determinantta hata.

Sütun işlemleri

$\det A^T = \det A$ olduğu için (gelecek hafta) yukarıdaki üç kural sütunlara da uygulanır. Bir sütun diğerinin katıysa determinant 0; iki sütunu değiştirmek işaret çevirir.

Determinantı sıfır yapan hızlı işaretler

Hesaplamadan $\det A = 0$ dedirten durumlar:

Örnek: $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 5 \\ -2 & 4 & -6 \end{bmatrix}$‘te 3. satır $= -2 \times$ 1. satır, determinant 0 (Q9).

Parametreli determinant

”$\det = 0$ olan $t$ değerlerini bul” soruları iki işe yarar: tekilliği bulmak (hafta 5) ve özdeğer bulmak (hafta 13, aynı hesap $\det(A - \lambda I) = 0$). Yöntem: satır işlemleriyle ortak çarpan yakala, çarpanlara ayrılmış biçimi koru.

$\begin{vmatrix} t & 1 & 1 \\ 1 & t & 1 \\ 1 & 1 & t \end{vmatrix} \xrightarrow{R_1 \leftarrow R_1 + R_2 + R_3} \begin{vmatrix} t+2 & t+2 & t+2 \\ 1 & t & 1 \\ 1 & 1 & t \end{vmatrix} = (t+2)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & t & 1 \\ 1 & 1 & t \end{vmatrix}$

Sonra $R_2 \leftarrow R_2 - R_1$, $R_3 \leftarrow R_3 - R_1$: köşegen $1, t - 1, t - 1$. Sonuç $(t + 2)(t - 1)^2$. Hepsini açıp kübik polinom çözmekten çok daha kısa.

Sık yapılan hatalar