Kirchhoff kuralları, RC devreleri, ampermetre ve voltmetre

Dönemin son konusu ve final sınavının en ağır kısmı. Geçen hafta seri ve paralel indirgemeyle çözdüğün devreler bir yere kadar gider: iki pilin farklı dallarda olduğu bir devre indirgenemez. Bunun için Kirchhoff’un iki kuralı var. Ardından devreye kondansatör girer ve akım artık zamanla değişir. Sınavda üç soru tipi bekle: iki çevreli bir devrede bir dal akımı, RC devresinde belli bir andaki yük veya gerilim, ampermetre/voltmetre tasarımı.

Altın kurallar:

1. Düğümde giren akım = çıkan akım. Yük birikmez.
2. Kapalı bir yolda potansiyel değişimleri toplamı sıfırdır. Başladığın noktaya döndüğünde aynı potansiyeldesin.
3. Akım yönünü baştan rastgele seç. Sonuç eksi çıkarsa gerçek yön terstir, denklemlerin yine doğrudur.
4. $\tau = RC$. Bir $\tau$ sonra dolan kondansatör son yükünün %63’üne, boşalan ise ilk yükünün %37’sine ulaşır.
5. Ampermetre seri ve küçük dirençli, voltmetre paralel ve büyük dirençli.

Kirchhoff’un kuralları

Düğüm kuralı (junction rule). Herhangi bir düğümde (junction, üç veya daha fazla telin birleştiği nokta):

$\sum I_{\text{in}} = \sum I_{\text{out}}$

Çevre kuralı (loop rule). Herhangi bir kapalı yol boyunca:

$\sum_{\text{loop}} \Delta V = 0$

Çevre kuralını uygularken her elemanda potansiyelin artıp azaldığını bu tabloyla belirle:

TUZAK · pilin işareti akıma bağlı değildir. Pilde işareti belirleyen sadece senin geçiş yönün: eksiden artıya geçiyorsan $+\varepsilon$. Akımın pilden hangi yönde geçtiği önemsizdir. Dirençte ise işareti akım yönü belirler.

Yöntem

1. Her dala bir akım ($I_1, I_2, \ldots$) ve bir yön ata. Seri elemanlar aynı dalda, aynı akımı taşır.
2. Düğüm kuralını (düğüm sayısı − 1) kere yaz.
3. Kalan denklemleri bağımsız çevrelerden yaz (genelde devredeki “pencere” sayısı kadar).
4. Denklem sistemini çöz. Eksi çıkan akımın gerçek yönü ters.
5. Kontrol: pillerin verdiği güç toplamı = dirençlerde harcanan güç.

Çözümlü örnek: iki pilli devre

Devre: üstte a, altta b düğümü var; aralarında üç paralel dal.

• Sol dal: $\varepsilon_1 = 12$ V (artı ucu a’ya bakıyor) ve $R_1 = 2.0\ \Omega$ seri.
• Orta dal: sadece $R_2 = 4.0\ \Omega$.
• Sağ dal: $\varepsilon_2 = 6.0$ V (artı ucu a’ya bakıyor) ve $R_3 = 3.0\ \Omega$ seri.

Akımlar: $I_1$ sol dalda b’den a’ya, $I_3$ sağ dalda b’den a’ya, $I_2$ orta dalda a’dan b’ye.

Düğüm a: $I_1 + I_3 = I_2$

Sol çevre (b’den başla, sol daldan yukarı, orta daldan aşağı): pilde eksiden artıya $+12$, $R_1$‘de akımla aynı yönde $-2.0I_1$, $R_2$‘de akımla aynı yönde $-4.0I_2$:

$12 - 2.0I_1 - 4.0I_2 = 0$

Sağ çevre (b’den başla, sağ daldan yukarı, orta daldan aşağı):

$6.0 - 3.0I_3 - 4.0I_2 = 0$

Çözüm: ilk iki çevre denkleminden $I_1 = 6.0 - 2.0I_2$ ve $I_3 = 2.0 - \frac{4}{3}I_2$. Düğüm denklemine koy:

6.0 − 2.0 I2 + 2.0 − 1.333 I2 = I2
8.0 = 4.333 I2   →   I2 = 1.85 A
I1 = 6.0 − 2(1.85) = 2.31 A
I3 = 2.0 − 1.333(1.85) = −0.46 A

$I_3$ eksi çıktı: sağ dalda akım aslında a’dan b’ye, yani 6.0 V’luk pilin artı ucundan içeri akıyor. Büyük pil küçük pili şarj ediyor.

Güç kontrolü:

Pil 1 verir:    12 × 2.31  = 27.7 W
Pil 2 alır:     6.0 × 0.46 =  2.8 W   (şarj oluyor)
Net:            24.9 W
Dirençler:      2(2.31)² + 4(1.85)² + 3(0.46)² = 10.7 + 13.6 + 0.6 = 24.9 W

İPUCU · düğüm potansiyeli kısayolu. Sadece iki düğüm varsa b’yi 0 V al, a’nın potansiyeline $V$ de ve tek denklem yaz: her daldaki akım $(\varepsilon - V)/R$. Bu örnekte $\frac{12 - V}{2} + \frac{6 - V}{3} = \frac{V}{4}$ hemen $V = 7.38$ V verir. Üç bilinmeyenli sistem yerine tek denklem.

RC devreleri

Bir direnç ve bir kondansatörün seri bağlandığı devrede akım sabit değildir. Kondansatör doldukça uçlarındaki gerilim $q/C$ artar, dirence kalan gerilim azalır, akım düşer.

Kondansatörün dolması (charging)

Başta boş kondansatör, $\varepsilon$ emk’lı pil ve $R$ direnci seri. Anahtar $t = 0$‘da kapanıyor. Çevre kuralı:

$\varepsilon - iR - \frac{q}{C} = 0, \qquad i = \frac{dq}{dt}$

Bu diferansiyel denklemin çözümü:

$q(t) = C\varepsilon\left(1 - e^{-t/RC}\right), \qquad i(t) = \frac{\varepsilon}{R}e^{-t/RC}$

$\tau = RC$ zaman sabitidir (time constant), birimi saniye. Önemli noktalar:

Örnek. $R = 50$ kΩ, $C = 20\ \mu$F, $\varepsilon = 10$ V.

τ = RC = (50e3)(20e-6) = 1.0 s
i(0) = ε/R = 10 / 50e3 = 0.20 mA
Q_son = Cε = 20 μF × 10 V = 200 μC
t = 2.0 s:  ΔV_C = 10 (1 − e^−2) = 8.6 V
%90 dolma:  e^(−t/τ) = 0.10  →  t = τ ln 10 = 2.3 s

Kondansatörün boşalması (discharging)

$Q$ yüklü kondansatör pil olmadan $R$ üzerinden boşalıyor:

$q(t) = Q\,e^{-t/RC}, \qquad i(t) = -\frac{Q}{RC}e^{-t/RC}$

Eksi işaret, akımın kondansatörün yükünü azalttığını söyler. Yükün yarıya inme süresi $t_{1/2} = \tau\ln 2 = 0.693\,\tau$.

TUZAK · enerji yükle aynı hızda düşmez. $U = q^2/2C$ olduğundan $U \propto e^{-2t/\tau}$. Enerjinin yarıya inmesi $\tau\ln2/2$ sürer, yükün yarıya inmesinin yarısı kadar. Sınavda iki seçenek de bulunur.

Kararlı durum soruları

Kondansatörlü bir devre çok uzun süre beklemişse (steady state) kondansatör dalından akım geçmez. Önce kondansatörü devreden “kopar”, kalan dirençli devreyi çöz, kondansatörün bağlı olduğu iki nokta arasındaki gerilimi bul, $Q = C\Delta V$ hesapla. Anahtar yeni kapandıysa ($t = 0^+$) boş kondansatörü bir tel gibi düşün.

Örnek. 12 V’luk ideal pil, $R_1 = 4.0\ \Omega$ ve $R_2 = 2.0\ \Omega$ seri; $C = 3.0\ \mu$F doğrudan $R_2$‘nin iki ucuna bağlı.

t = 0:   C kısa devre, R2'yi köprüler   → I = 12/4.0 = 3.0 A
t → ∞:   C dalında akım yok             → I = 12/6.0 = 2.0 A
         ΔV_C = ΔV_R2 = 2.0 × 2.0 = 4.0 V
         Q = 3.0 μF × 4.0 V = 12 μC

Galvanometre, ampermetre, voltmetre

Galvanometre (galvanometer), içinden geçen küçük akımla ibresi sapan hassas bir alettir. İki şeyle tanımlanır: bobin direnci $R_g$ ve tam sapma akımı $I_g$ (tipik olarak mA mertebesi).

Ampermetre (ammeter) akımı ölçer, ölçtüğü dala seri bağlanır. Devreyi bozmaması için direnci çok küçük olmalı. Galvanometreye paralel küçük bir şönt (shunt resistor) bağlanır; fazla akım şöntten geçer:

$I_gR_g = (I - I_g)R_{sh} \quad\Rightarrow\quad R_{sh} = \frac{I_gR_g}{I - I_g}$

Voltmetre (voltmeter) potansiyel farkını ölçer, ölçtüğü elemana paralel bağlanır. Devreden akım çalmaması için direnci çok büyük olmalı. Galvanometreye seri büyük bir direnç eklenir:

$V = I_g(R_g + R_s) \quad\Rightarrow\quad R_s = \frac{V}{I_g} - R_g$

Yükleme etkisi. Gerçek aletler ideal değildir. 6.0 V’luk pil ve 3.0 Ω’luk dirençli devreye 0.50 Ω’luk bir ampermetre seri bağlarsan 2.0 A yerine $6.0/3.5 = 1.7$ A okursun. Benzer şekilde iki 10 kΩ’luk dirençten birinin uçlarına 10 kΩ’luk bir voltmetre bağlarsan o kısım 5.0 kΩ’a düşer ve 6.0 V yerine 4.0 V okursun. Aletin direnci, ölçtüğün devredeki dirençlerle kıyaslanabilir olduğunda bu etki büyür.

Sık yapılan hatalar