PHY1002 · 5. hafta · Electric Potential: Potential Difference and Electric Potential, Potential Differences in a Uniform Electric Field

Potansiyel farkı ve düzgün alanda potansiyel

Elektrik potansiyeli, potansiyel farkı, volt ve elektron-volt; düzgün alanda ΔV = −E·d ve yük hızlandırma soruları.

electric potentialpotential differenceelectric potential energyvoltelectron voltequipotential surfaceconservative fielduniform electric field

Elektrik alanı (electric field) vektördür ve her soruda bileşen bileşen toplamak yorucu. Potansiyel (electric potential) ise skalerdir: yönü yok, işareti var. Bu hafta onu tanımlıyorsun ve en basit hâlini, düzgün alandaki potansiyeli öğreniyorsun. Sınavda bu konudan iki tip soru gelir: ” $V_B - V_A$ nedir?” ve “yük durgundan hızlandırılıyor, hızı ne olur?”. İkisi de birkaç satır. Puanı kaybettiren şey işaretler.

Altın kurallar:

$\Delta V = V_B - V_A = -\int_A^B \vec E\cdot d\vec s$ . Eksi işaret tanımın parçası.
Alan yönünde gidersen potansiyel düşer. Alan çizgileri yüksek potansiyelden düşük potansiyele akar.
$\Delta U = q\,\Delta V$ . Yükün işaretini mutlaka yerine koy.
Enerji korunur: $\Delta K + \Delta U = 0$ , yani $\Delta K = -q\,\Delta V$ .
Alana dik hareket potansiyeli değiştirmez. Sadece alana paralel bileşen sayılır.

Potansiyel enerji ve potansiyel

Bir $q_0$ test yükünü elektrik alanında küçük bir $d\vec s$ kadar kaydırınca alanın yaptığı iş $\vec F\cdot d\vec s = q_0\vec E\cdot d\vec s$ olur. Elektrostatik kuvvet korunumlu (conservative) olduğu için bu iş yola bağlı değildir ve ona bir potansiyel enerji (electric potential energy) karşılık gelir:

$\Delta U = -W_{\text{alan}} = -q_0\int_A^B \vec E\cdot d\vec s$

Bu enerji test yüküne de bağlı. Test yükünden bağımsız bir büyüklük istiyoruz, o yüzden yük başına potansiyel enerjiyi tanımlıyoruz:

$V = \frac{U}{q_0}, \qquad \Delta V = \frac{\Delta U}{q_0} = -\int_A^B \vec E\cdot d\vec s$

Birim: $1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}$ . Buradan alanın birimi de çıkar: $1\ \text{N/C} = 1\ \text{V/m}$ . Sınavda alanı V/m ile vermeleri sık görülür, ikisi aynı şey.

Fiziksel anlamı: $\Delta V$ , $+1$ C’luk bir yükü A’dan B’ye sabit hızla taşımak için dış etkenin (external agent) yapması gereken iştir. Dış etkenin işi $W_{\text{dış}} = q\,\Delta V$ , alanın işi $W_{\text{alan}} = -q\,\Delta V$ . Hangisinin sorulduğuna dikkat et.

TUZAK · Potansiyel ile potansiyel enerji aynı şey değil. $V$ yerin özelliği (V cinsinden), $U$ o yerdeki yükün enerjisi (J cinsinden). Aynı noktada proton ve elektronun potansiyeli aynı, potansiyel enerjileri zıt işaretli.

Sadece farklar fizikseldir. Sıfır noktasını sen seçersin: devrelerde toprak (ground), nokta yüklerde sonsuz.

Elektron-volt

Atom ölçeğinde joule çok büyük kalır. Bir elektronun (ya da protonun) 1 V’luk potansiyel farkından geçince kazandığı enerjiye elektron-volt (electron volt) denir:

$1\ \text{eV} = (1.60\times10^{-19}\ \text{C})(1\ \text{V}) = 1.60\times10^{-19}\ \text{J}$

Kolaylık şu: yükü $e$ cinsinden, potansiyeli volt cinsinden çarparsan enerji doğrudan eV çıkar. $2e$ yüklü alfa parçacığı 5.0 kV’tan geçince 10 keV kazanır.

Düzgün alanda potansiyel farkı

Alan her yerde aynıysa (paralel plakalar arası gibi) $\vec E$ integralin dışına çıkar:

$\Delta V = -\vec E\cdot\int_A^B d\vec s = -\vec E\cdot\Delta\vec r = -(E_x\,\Delta x + E_y\,\Delta y + E_z\,\Delta z)$

Yer değiştirme alana paralel ve uzunluğu $d$ ise:

$\Delta V = -E\,d \qquad\text{(alan yönünde)}, \qquad |\Delta V| = E\,d$

Bu ilişki ters yönde de çalışır: plakalar arası gerilim ve mesafe verilirse $E = |\Delta V|/d$ .

Eşpotansiyel yüzeyler

Potansiyeli aynı olan noktaların oluşturduğu yüzeye eşpotansiyel yüzey (equipotential surface) denir. Alana dik yönde yürürsen $\vec E\cdot d\vec s = 0$ , potansiyel değişmez. Sonuç:

Eşpotansiyel yüzeyler alan çizgilerine her yerde diktir.
Düzgün alanda eşpotansiyeller birbirine paralel düzlemlerdir, eşit aralıklıdır.
Eşpotansiyel yüzey üzerinde yükü taşımak için iş gerekmez.

İPUCU · Yön kontrolü. Sonucu bulduktan sonra şunu sor: “Alan yönünde mi gittim?” Evet ise $\Delta V$ negatif olmalı. Bu tek soru işaret hatalarının çoğunu yakalar.

Yükün hareketi ve enerji korunumu

Yük sadece elektrik kuvveti altında hareket ediyorsa toplam enerji korunur:

$K_i + qV_i = K_f + qV_f \quad\Longleftrightarrow\quad \Delta K = -q\,\Delta V$

Durgundan başlayan yük için:

$v = \sqrt{\frac{2\,|q|\,|\Delta V|}{m}}$

İşaretin anlamı: serbest bırakılan yük potansiyel enerjisini azaltır. Pozitif yük düşük potansiyele (alan yönüne), negatif yük yüksek potansiyele (alana ters) gider. İkisi de hızlanır.

Yük	Kendiliğinden gittiği yön	$\Delta V$	$\Delta U$	$\Delta K$
Pozitif	Alan yönü, düşük V	$< 0$	$< 0$	$> 0$
Negatif	Alana ters, yüksek V	$> 0$	$< 0$	$> 0$

Çözümlü örnekler

Örnek 1. Alan boyunca potansiyel farkı. $\vec E = 600\,\hat i$ N/C. A noktası orijinde, B noktası $(0.25, 0)$ m’de. $V_B - V_A$ ?

Δr = (0.25, 0) m
ΔV = -(Ex Δx + Ey Δy) = -(600)(0.25) - 0
ΔV = -150 V        (alan yönünde gittik, V düştü: tutarlı)

Örnek 2. Çapraz yol. Aynı alanda C noktası $(0.25, 0.40)$ m. $V_C - V_A$ ?

Δr = (0.25, 0.40) m,  |Δr| = 0.47 m  (bunu KULLANMA)
ΔV = -(600)(0.25) - (0)(0.40) = -150 V

Sonuç Örnek 1 ile aynı. B’den C’ye yürüyüş alana dik, yani B ve C aynı eşpotansiyel yüzeyde. Toplam mesafeyle $E$ ‘yi çarpmak klasik hatadır.

Örnek 3. Elektron tabancası. Bir elektron durgundan başlıyor ve 250 V’luk potansiyel farkından geçiyor. Son hızı ve kinetik enerjisi?

Elektron negatif: yüksek potansiyele doğru hızlanır, ΔV = +250 V
ΔU = qΔV = (-1.60e-19)(250) = -4.0e-17 J
ΔK = -ΔU = +4.0e-17 J  = 250 eV
v = kök(2K/m) = kök(2(4.0e-17)/(9.11e-31)) = 9.37e6 m/s

Aynı potansiyel farkından geçen proton da aynı enerjiyi (250 eV) kazanır ama kütlesi yaklaşık 1840 kat büyük olduğu için hızı $\sqrt{1840}\approx 43$ kat küçük olur.

Örnek 4. Yavaşlatma. Bir proton plakalar arasına alana ters yönde girerse yavaşlar. Durması için gereken potansiyel farkı kinetik enerjisinin eV değerine eşittir: 800 eV enerjili proton 800 V’luk bir yokuşu ancak tırmanır. Yokuş daha yüksekse geri döner. Bu “eV ile düşünme” yöntemi zor soruları iki satıra indirir.

Örnek 5. Paralel plakalar ve ara nokta. İki büyük plaka 4.0 cm aralıklı. Pozitif plaka 200 V’ta, negatif plaka 0 V’ta (toprak). (a) Alan? (b) Pozitif plakadan 1.0 cm uzaktaki noktanın potansiyeli? (c) Negatif plakadan durgun bırakılan elektron pozitif plakaya hangi hızla çarpar?

(a) E = ΔV/d = 200/0.040 = 5.0e3 V/m   (pozitif plakadan negatife doğru)
(b) Alan yönünde 1.0 cm gittin: V = 200 - (5.0e3)(0.010) = 150 V
(c) Elektron 0 V'tan 200 V'a çıkar: K = 200 eV = 3.2e-17 J
    v = kök(2(3.2e-17)/(9.11e-31)) = 8.38e6 m/s

Plakalar arasında potansiyel doğrusal değişir. Bu yüzden ara noktalarda “plakadan uzaklık çarpı E” yöntemi her zaman çalışır. Hangi plakadan ölçtüğüne ve o plakanın potansiyeline dikkat et.

Örnek 6. Düzgün olmayan alan (kısa bakış). Alan $E_x = 400x^2$ (V/m, $x$ metre) gibi değişiyorsa $-E d$ formülü geçmez, integral şart:

$V(0.50) - V(0) = -\int_0^{0.50} 400x^2\,dx = -\frac{400}{3}(0.50)^3 = -16.7\ \text{V}$

Düzgün alan formülü bu genel tanımın özel hâli. Sınavda alan formülle verilirse ilk işin integrali kurmak.

Sınavda çözüm stratejisi

Potansiyel farkı sorularında şu sırayı izle:

Başlangıç ve bitiş noktasını işaretle. $\Delta V = V_{\text{son}} - V_{\text{ilk}}$ , sıra önemli.
Yer değiştirme vektörünü bileşenlerine ayır. $\Delta\vec r = (\Delta x, \Delta y)$ .
Sadece alana paralel bileşeni çarp, eksi koy. $\Delta V = -\vec E\cdot\Delta\vec r$ .
Yön kontrolü yap. Alan yönünde gittiysen sonuç negatif olmalı.
Enerji sorusuysa $\Delta U = q\Delta V$ yaz, sonra $\Delta K = -\Delta U$ . Yükü eV ile düşünmek hesabı hızlandırır; hız istenirse en sonda joule’e çevir.

Hız sorularında kütleyi doğru seç: elektron $9.11\times10^{-31}$ kg, proton $1.67\times10^{-27}$ kg. Aynı potansiyel farkından geçen elektron ve proton aynı enerjiyi kazanır, hızları farklı olur.

Sık yapılan hatalar

Yanlış düşünce	Doğrusu
$\Delta V = +E d$ (alan yönünde)	$\Delta V = -E d$ , alan yönünde potansiyel düşer
Çapraz yolda $\Delta V = -E\,\lvert\Delta\vec r\rvert$	Sadece alana paralel bileşen: $-\vec E\cdot\Delta\vec r$
Elektron da düşük potansiyele gider	Negatif yük yüksek potansiyele gider
$\Delta U = q\Delta V$ hesabında yükün işaretini atlamak	Elektron için $q = -1.60\times10^{-19}$ C
Potansiyel ve potansiyel enerji aynı	$V$ J/C, $U$ J; $U = qV$
Hız için $v = 2qV/m$	Karekök var: $v = \sqrt{2qV/m}$
Alanın işi ile dış etkenin işi aynı	Zıt işaretli: $W_{\text{dış}} = q\Delta V = -W_{\text{alan}}$
cm’yi metreye çevirmeden $E = V/d$	$d$ metre olmalı, sonuç V/m
Alfa parçacığı 5 kV’ta 5 keV alır	Yük $2e$ : 10 keV

Kendini test et

Sınavdaki gibi İngilizce sorular. Önce kâğıt kalemle çöz, sonra cevabı aç.

Soru 1kolay

A uniform electric field of magnitude 450 N/C points in the $+x$ direction. Point A is at $x = 0$ and point B is at $x = 0.20$ m. What is $V_B - V_A$ ?

−90 V
+90 V
−2250 V
−9.0 V
0 V

Cevabı göster

A) −90 V

Alan yönünde ilerliyorsun, potansiyel düşer. $V_B - V_A = -E\,d = -(450)(0.20) = -90$ V.
+90 V işaret hatası, −2250 V ise E/d bölmesi yapmaktır.

Soru 2kolay

A proton starts from rest and is accelerated through a potential difference of 1500 V. What is its final speed? ( $m_p = 1.67\times10^{-27}$ kg)

2.9 × 10¹¹ m/s
5.4 × 10⁵ m/s
3.8 × 10⁵ m/s
2.3 × 10⁷ m/s
7.6 × 10⁵ m/s

Cevabı göster

B) 5.4 × 10⁵ m/s

Enerji korunumu: $\tfrac12 m v^2 = e\,|\Delta V|$ . $v = \sqrt{2(1.60\times10^{-19})(1500)/(1.67\times10^{-27})} = 5.36\times10^{5}$ m/s. $2.9\times10^{11}$ karekökü almayı unutmak; $2.3\times10^7$ elektron kütlesi kullanmaktır.

Soru 3kolay

An electron moves from point A to point B, where $V_B - V_A = +120$ V. What is the change in the electron's electric potential energy?

+1.92 × 10⁻¹⁷ J
−1.92 × 10⁻¹⁷ J
+120 J
−7.5 × 10²⁰ J
0 J

Cevabı göster

B) −1.92 × 10⁻¹⁷ J

$\Delta U = q\,\Delta V = (-1.60\times10^{-19})(+120) = -1.92\times10^{-17}$ J.
Negatif yük yüksek potansiyele giderken potansiyel enerjisi azalır, kinetik enerjisi artar.

Soru 4orta

A uniform field $\vec E = 300\,\hat{i}$ N/C exists in a region. Point A is at $(0, 0)$ and point B is at $(0.40, 0.30)$ m. Find $V_B - V_A$ .

−150 V
−120 V
−90 V
+120 V
−210 V

Cevabı göster

B) −120 V

$\Delta V = -\vec E\cdot\Delta\vec r = -(E_x\Delta x + E_y\Delta y) = -(300)(0.40) - 0 = -120$ V.
Sadece alana paralel bileşen sayılır. −150 V tüm 0.50 m'lik mesafeyi kullanmak, −90 V ise $\Delta y$ 'yi kullanmaktır.

Soru 5kolay

Two large parallel plates are 2.0 cm apart and the potential difference between them is 240 V. What is the magnitude of the uniform electric field between the plates (in V/m)?

Cevabı göster

1.2 × 10⁴ V/m

Düzgün alanda $E = |\Delta V|/d = 240/0.020 = 1.2\times10^{4}$ V/m.
Santimetreyi metreye çevirmeyi unutursan 120 V/m bulursun.

Soru 6kolay

In a region with a uniform electric field, a proton and an electron are each released from rest. Which statement is correct?

Both move toward lower potential.
Both move toward higher potential.
The proton moves toward lower potential; the electron moves toward higher potential.
The proton moves toward higher potential; the electron moves toward lower potential.
Neither moves, because the field is uniform.

Cevabı göster

C) The proton moves toward lower potential; the electron moves toward higher potential.

Serbest bırakılan yük potansiyel enerjisini azaltacak yöne gider: $\Delta U = q\Delta V < 0$ .
Proton için $q>0$ olduğundan $\Delta V<0$ (alan yönü). Elektron için $q<0$ olduğundan $\Delta V>0$ (alana ters).

Soru 7orta

An electron moving at $3.0\times10^{6}$ m/s enters a region where a uniform field of 500 N/C points in the same direction as the electron's velocity. How far does the electron travel before it momentarily stops?

2.6 cm
5.1 cm
10 cm
0.51 mm
1.0 m

Cevabı göster

B) 5.1 cm

Elektrona etki eden kuvvet alana ters, yani hızına ters: yavaşlar. $\tfrac12 m v^2 = eEd \Rightarrow d = \dfrac{m v^2}{2eE} = \dfrac{(9.11\times10^{-31})(9.0\times10^{12})}{2(1.60\times10^{-19})(500)} = 0.0512$ m.
Bu, elektronun 25.6 V'luk bir potansiyel farkını tırmanması demek. 2.6 cm, 1/2 çarpanını iki kez kullanmaktır.

Soru 8orta

An alpha particle (charge $+2e$ ) is accelerated from rest through a potential difference of 5.0 kV. What kinetic energy does it gain?

5.0 keV
10 keV
2.5 keV
8.0 × 10⁻¹⁶ J
5.0 × 10³ J

Cevabı göster

B) 10 keV

$K = |q|\,|\Delta V| = (2e)(5000\ \text{V}) = 10\,000$ eV = 10 keV.
Joule cinsinden $10^4 \times 1.60\times10^{-19} = 1.6\times10^{-15}$ J. 5.0 keV yükün $2e$ olduğunu unutmaktır.

Soru 9kolay

A $+4.0\ \mu\text{C}$ charge is moved slowly from one point to another point on the same equipotential surface. How much work does the external agent do?

Depends on the path length
Positive, equal to qEd
Negative, equal to −qEd
Zero
Cannot be determined without E

Cevabı göster

D) Zero

Eşpotansiyel yüzeyde $\Delta V = 0$ , dolayısıyla $W = q\Delta V = 0$ .
Elektrik alanı korunumlu (conservative); iş yola değil, sadece uç noktaların potansiyeline bağlı.

Soru 10orta

A $+3.0\ \mu\text{C}$ charge is moved at constant speed a distance of 0.15 m directly against a uniform field of $2.0\times10^{3}$ N/C. How much work does the external agent do?

−9.0 × 10⁻⁴ J
9.0 × 10⁻⁴ J
9.0 × 10⁻¹ J
4.0 × 10⁻² J
0 J

Cevabı göster

B) 9.0 × 10⁻⁴ J

Alana ters gidince potansiyel artar: $\Delta V = +E d = (2000)(0.15) = 300$ V.
Sabit hızda dış kuvvetin işi potansiyel enerji artışına eşit: $W = q\Delta V = (3.0\times10^{-6})(300) = 9.0\times10^{-4}$ J.
Negatif cevap, alanın yaptığı iştir; soru dış etkeni soruyor.

Soru 11orta

Three equipotential surfaces at 10 V, 20 V and 30 V are flat, parallel and spaced 5.0 cm apart. What are the magnitude and direction of the electric field?

200 V/m, from the 10 V surface toward the 30 V surface
200 V/m, from the 30 V surface toward the 10 V surface
2.0 V/m, from 30 V toward 10 V
600 V/m, from 30 V toward 10 V
400 V/m, from 10 V toward 30 V

Cevabı göster

B) 200 V/m, from the 30 V surface toward the 10 V surface

$E = |\Delta V|/d = 10\ \text{V}/0.050\ \text{m} = 200$ V/m.
Alan her zaman potansiyelin azaldığı yönü gösterir: 30 V'tan 10 V'a.
2.0 V/m, 5.0 cm'yi metreye çevirmemektir.

Soru 12zor

A proton with kinetic energy 2.0 keV moves into a region where it must climb a potential rise of 1500 V. What is its speed after the climb? ( $m_p = 1.67\times10^{-27}$ kg)

Cevabı göster

3.1 × 10⁵ m/s

Elektron-volt ile çalış: $K_f = K_i - e\Delta V = 2000\ \text{eV} - 1500\ \text{eV} = 500$ eV.
Joule'e çevir: $K_f = 500 \times 1.60\times10^{-19} = 8.0\times10^{-17}$ J. $v = \sqrt{2K_f/m_p} = \sqrt{2(8.0\times10^{-17})/(1.67\times10^{-27})} = 3.10\times10^{5}$ m/s.

Doğrulama: Tüm sayısal cevaplar node ile hesaplandı (verify/PHY1002/05.mjs): ΔV = −∫E·ds yol boyunca 10⁵ adımlı sayısal toplamla, hızlar ve enerjiler enerji korunumundan.

Deftere not kartı

dU = -q E·ds ΔU = -W_alan V = U/q (1 V = 1 J/C) ΔV = VB - VA = -∫ E·ds (A'dan B'ye) Düzgün alan: ΔV = -E·Δr = -(Ex Δx + Ey Δy); alan boyunca d: ΔV = -E d E = |ΔV|/d birim: V/m = N/C Alan yönünde gidersen V DÜŞER. E, yüksek V'tan düşük V'a bakar. ΔU = q ΔV (q'nun işaretiyle!) ΔK = -ΔU = -q ΔV Durgundan hızlanma: v = kök(2|q||ΔV|/m) 1 eV = 1.60e-19 J; q=2e, 5 kV -> 10 keV Eşpotansiyel yüzey ⟂ alan çizgisi; üzerinde iş = 0 Dış etkenin işi (sabit hız) = +qΔV; alanın işi = -qΔV Pozitif yük düşük V'a, negatif yük yüksek V'a kendiliğinden gider Dikey adım (alana dik) potansiyeli DEĞİŞTİRMEZ