Kütle merkezi, parçacık sistemleri ve roket itişi

Çarpışmalarda iki cismin momentumunu ayrı ayrı takip ettin. Cisim sayısı artınca (bir patlama, bir insan ve kayık, bir roket ve egzozu) bütün sistemi tek bir noktanın hareketiyle özetlemek çok işe yarar. Bu nokta kütle merkezidir (center of mass). Sistemin içinde ne olursa olsun, kütle merkezi sadece dış kuvvetlere uyarak hareket eder.

Altın kurallar:

1. Kütle merkezi kütlelerle ağırlıklı ortalamadır, orta nokta değil.
2. $\vec v_{cm} = \vec p_{\text{toplam}}/M$.
3. $\sum\vec F_{\text{dış}} = M\vec a_{cm}$. İç kuvvetler (patlama, itişme, yürüme) kütle merkezini hareket ettiremez.
4. Dış kuvvet yoksa ve sistem başta duruyorsa kütle merkezi yerinde kalır.

Kütle merkezinin konumu

Parçacıklardan oluşan bir sistemde (system of particles):

$x_{cm} = \frac{\sum m_ix_i}{M} \qquad y_{cm} = \frac{\sum m_iy_i}{M} \qquad M = \sum m_i$

Vektör olarak $\vec r_{cm} = \frac{1}{M}\sum m_i\vec r_i$. Her bileşeni ayrı hesapla.

Çözümlü örnek 1. x ekseni üzerinde 1.00 kg ($x = 0$), 2.00 kg ($x = 2.00$ m) ve 5.00 kg ($x = 4.00$ m).

$x_{cm} = \frac{(1.00)(0) + (2.00)(2.00) + (5.00)(4.00)}{8.00} = \frac{24.0}{8.00} = 3.00\ \text{m}$

Ağır olan 5 kg’a yakın. Kütle merkezi her zaman en uç parçacıkların arasında kalır.

Çözümlü örnek 2. 2.00 kg $(0, 0)$‘da, 3.00 kg $(4.00, 0)$‘da, 1.00 kg $(2.00, 3.00)$‘da (m).

x_cm = (2·0 + 3·4.00 + 1·2.00) / 6.00 = 14.0 / 6.00 = 2.33 m
y_cm = (2·0 + 3·0    + 1·3.00) / 6.00 =  3.00 / 6.00 = 0.500 m

TUZAK · geometrik merkez değil. Üç noktanın oluşturduğu üçgenin ağırlık merkezi, kütleler eşitse kütle merkezidir. Kütleler farklıysa ağırlıklı ortalamayı hesaplaman şart.

Sürekli cisimler

Toplam integrale dönüşür: $x_{cm} = \frac{1}{M}\int x\,dm$. Çubuk için $dm = \lambda\,dx$, $\lambda$ doğrusal kütle yoğunluğu (linear mass density, kg/m). Düzgün ve simetrik cisimlerde kütle merkezi geometrik merkezdedir: düzgün çubukta ortada, düzgün diskte merkezde.

Çözümlü örnek 3. 1.50 m’lik çubuğun yoğunluğu $\lambda = 2x$ kg/m (bir uçtan diğerine artıyor).

M = ∫0^1.5 2x dx = [x²] = 2.25 kg
∫ x dm = ∫0^1.5 2x² dx = [2x³/3] = 2.25 kg·m
x_cm = 2.25 / 2.25 = 1.00 m   (ortadan, 0.75 m, ağır uca kaymış)

Sistemin hareketi

Konum formülünün zamana göre türevini al:

$\vec v_{cm} = \frac{\sum m_i\vec v_i}{M} = \frac{\vec p_{\text{toplam}}}{M} \qquad \sum\vec F_{\text{dış}} = M\vec a_{cm}$

Sistemin toplam momentumu, bütün kütle kütle merkezinde toplanmış ve $v_{cm}$ ile gidiyormuş gibidir. İç kuvvetler Newton 3 gereği çiftler hâlinde birbirini götürür, bu yüzden denklemde sadece dış kuvvetler kalır.

Çarpışmada kütle merkezi

Bir önceki sayfadaki çarpışmayı hatırla: 1500 kg’lık araba 20.0 m/s ile duran 2500 kg’lık kamyona çarpıp yapışıyordu. Çarpışmadan önce kütle merkezinin hızı:

$v_{cm} = \frac{(1500)(20.0) + (2500)(0)}{4000} = 7.50\ \text{m/s}$

Çarpışmadan sonra yapışık enkazın hızı da 7.50 m/s idi. Bu tesadüf değil. Çarpışma kuvvetleri iç kuvvettir, kütle merkezinin hızını değiştiremez. Yapışan cisimler zaten kütle merkeziyle birlikte hareket eder. Bu, tam esnek olmayan çarpışma sorularında hızlı bir kontrol yoludur.

Hangi kuvvetin iç, hangisinin dış olduğu sistemi nasıl seçtiğine bağlıdır. Araba ve kamyonu birlikte sistem seçersen çarpışma kuvveti içtir. Sadece arabayı seçersen kamyonun uyguladığı kuvvet dış kuvvet olur ve arabanın momentumu değişir. Sorunun başında sistemi açıkça yaz.

Sonuçları:

• Patlama: havada patlayan merminin parçaları dağılır, ama kütle merkezi eski parabolde devam eder.
• Geri tepme (recoil): başta duran sistemde toplam momentum sıfır kalır. Tüfek mermiye zıt yönde geri teper: $mv + MV = 0$.
• Kayıkta yürümek: sürtünmesiz suda kayık ve insan sisteminin kütle merkezi kıpırdamaz. İnsan ileri giderse kayık geri gider.

TUZAK · kayıkta yürüme mesafesi. İnsan kayığa göre $L$ yürür, kayık kıyıya göre $d$ geri gider. İnsanın kıyıya göre yer değiştirmesi $L - d$ olur. Denklem $m(L - d) = Md$, buradan $d = \dfrac{mL}{m + M}$. Paydaya sadece $M$ yazmak en yaygın hata.

Roket itişi (kısa not)

Roket, egzoz gazını geriye fırlatarak ileri gider. Bu bir sürekli geri tepmedir; dış kuvvet gerekmez, boşlukta da çalışır. Egzoz rokete göre $v_e$ hızıyla (exhaust speed) çıkıyorsa:

$\text{Thrust} = v_e\left|\frac{dM}{dt}\right| \qquad v_f - v_i = v_e\ln\frac{M_i}{M_f}$

Çözümlü örnek 4. $v_e = 2800\ \text{m/s}$, başlangıç kütlesi bitiş kütlesinin 3 katı, yakıt 15.0 kg/s yanıyor.

Δv = 2800 · ln 3 = 2800 · 1.0986 = 3.08 × 10³ m/s
Thrust = 2800 · 15.0 = 4.20 × 10⁴ N

Hız kütle oranının logaritmasıyla artar. Oranı ikiye katlamak hızı ikiye katlamaz; bu yüzden roketler çok kademelidir.

Karışık sınav örnekleri

Çözümlü örnek 5 (havada patlama). 10.0 kg’lık mermi yörüngesinin tepesinde yatay 30.0 m/s ile giderken iki parçaya ayrılıyor. 4.00 kg’lık parça patlamadan hemen sonra durgun (sonra düz aşağı düşüyor). Diğer parçanın hızı?

Patlama anında yatay momentum korunur (yerçekimi düşey, patlama çok kısa):
10.0 · 30.0 = 4.00 · 0 + 6.00 · v   →   v = 300 / 6.00 = 50.0 m/s (aynı yönde)
K önce:  ½ · 10.0 · 30.0² = 4.50 × 10³ J
K sonra: ½ · 6.00 · 50.0² = 7.50 × 10³ J   (patlamanın kimyasal enerjisi eklendi)

Patlamada kinetik enerji artar. Bu, esnek olmayan çarpışmanın tersidir: iç enerji kinetik enerjiye dönüşür. Momentum ise yine korunur.

Çözümlü örnek 6 (kayık). 60.0 kg’lık bir kişi, durgun suda duran 140 kg’lık kayığın bir ucundan diğerine kayığa göre 5.00 m yürüyor.

Kayığın kıyıya göre hareketi: d = m L / (m + M) = 60.0 · 5.00 / 200 = 1.50 m (geri)
Kişinin kıyıya göre hareketi: 5.00 - 1.50 = 3.50 m (ileri)
Kontrol: 60.0 · 3.50 = 210 = 140 · 1.50   ✓ (KM yerinde)

Sık yapılan hatalar