İki boyutta hareket: konum, hız ve ivme vektörleri

Geçen hafta hareket bir doğru üzerindeydi ve yön sadece işaretti. Şimdi düzlemdeyiz: konum, hız ve ivme gerçek vektörler. İyi haber: yeni fizik yok. 3. haftanın denklemlerini $x$ ve $y$ için ayrı ayrı yazıyorsun. 2. haftanın vektör araçlarıyla bileşenleri birleştiriyorsun. Bu sayfa, gelecek haftanın eğik atış (projectile) konusunun altyapısı.

Altın kurallar:

1. Her vektör denklemi iki skaler denklemdir: biri $x$, biri $y$ için.
2. $x$ ve $y$ hareketleri birbirinden bağımsız. Onları bağlayan tek şey zaman $t$.
3. Türev bileşen bileşen alınır. $\vec v = \tfrac{dx}{dt}\,\hat i + \tfrac{dy}{dt}\,\hat j$.
4. Sürat sorulursa büyüklük al, hız sorulursa vektör ver.
5. Sabit süratte bile ivme olabilir. Yön değişiyorsa hız vektörü değişiyordur.

Konum ve yer değiştirme vektörü

Parçacığın konumu, orijinden ona çizilen konum vektörü (position vector):

$\vec r = x\,\hat i + y\,\hat j$

$t_i$ anından $t_f$ anına yer değiştirme (displacement vector):

$\Delta\vec r = \vec r_f - \vec r_i = \Delta x\,\hat i + \Delta y\,\hat j$

Yer değiştirmenin büyüklüğü, iki nokta arasındaki düz çizgi mesafesi. Gidilen yol (eğri boyunca) bundan büyük ya da eşit.

Ortalama ve anlık hız

$\bar{\vec v} = \frac{\Delta\vec r}{\Delta t} \qquad \vec v = \frac{d\vec r}{dt} = \frac{dx}{dt}\,\hat i + \frac{dy}{dt}\,\hat j = v_x\,\hat i + v_y\,\hat j$

Ortalama hız $\Delta\vec r$ ile aynı yönde. Anlık hız ise yörüngeye (path) her noktada teğet.

Ortalama ve anlık ivme

$\bar{\vec a} = \frac{\Delta\vec v}{\Delta t} \qquad \vec a = \frac{d\vec v}{dt} = \frac{dv_x}{dt}\,\hat i + \frac{dv_y}{dt}\,\hat j$

İvme üç durumda sıfırdan farklı olur: hızın büyüklüğü değişirse, yönü değişirse, ya da ikisi birden. Virajda sabit 60 km/h giden araba ivmelidir.

TUZAK · süratlerin farkı. Ortalama ivmenin büyüklüğü $\dfrac{|\vec v_2| - |\vec v_1|}{\Delta t}$ değil, $\dfrac{|\vec v_2 - \vec v_1|}{\Delta t}$. Önce vektörleri bileşen bileşen çıkar, sonra büyüklük al. Sabit süratle dönen bir cisimde ilk formül sıfır verir; ikincisi doğru olan sıfırdan farklı değeri.

Örnek 1. $\vec r(t) = 2t^2\,\hat i + (5t - t^2)\,\hat j$ (m, s). $t = 3.0$ s’de konum, hız, sürat ve ivme?

r(3)  = 2(9) î + (15 - 9) ĵ        = 18 î + 6 ĵ  m
v(t)  = 4t î + (5 - 2t) ĵ
v(3)  = 12 î - 1 ĵ  m/s
sürat = √(144 + 1) = 12.0 m/s
yön   = tan⁻¹(-1/12) = -4.8°  (IV. bölge, vx > 0, doğru)
a(t)  = 4 î - 2 ĵ  m/s²   (sabit)

Burada ivme sabit çıktı; bu yüzden aşağıdaki sabit ivme denklemleri de bu harekete uyar. $\vec r(t)$‘de $t^3$ gibi bir terim olsaydı ivme zamana bağlı olurdu ve sabit ivme denklemleri kullanılamazdı. O durumda sadece türev ve integral çalışır.

Sabit ivmeli 2D hareket

$\vec a$ sabitse 3. haftanın denklemleri vektör olarak geçerli:

$\vec v = \vec v_0 + \vec a\,t \qquad \vec r = \vec r_0 + \vec v_0\,t + \tfrac12\vec a\,t^2$

Bileşenlere ayırınca:

Örnek 2. Parçacık orijinden $\vec v_0 = (3.0\,\hat i - 2.0\,\hat j)$ m/s ile çıkıyor, ivmesi $\vec a = (0.50\,\hat i + 1.0\,\hat j)\,\text{m/s}^2$. $t = 4.0$ s’de hız ve konum?

vx = 3.0 + 0.50(4.0) = 5.0 m/s
vy = -2.0 + 1.0(4.0) = 2.0 m/s       →  v = 5.0 î + 2.0 ĵ m/s,  |v| = 5.39 m/s
x  = 3.0(4.0) + ½(0.50)(16) = 12 + 4.0 = 16 m
y  = -2.0(4.0) + ½(1.0)(16) = -8.0 + 8.0 = 0
r  = 16 î  m

Dikkat: $t = 4.0$ s’de cisim tekrar $x$ ekseninde. $y$ önce negatife gitti ($v_{0y} < 0$), sonra ivme onu geri getirdi. Bunu $y$ denklemine tek başına bakarak görürsün; $x$ hiç karışmaz.

En büyük $x$ ya da $y$

Bir bileşen en büyük (veya en küçük) değerine, o bileşenin hızı sıfır olduğu anda ulaşır: $x_{\max}$ için $v_x = 0$, $y_{\max}$ için $v_y = 0$. Bu an $t$‘yi bul, diğer denklemlere koy.

İPUCU · hangi bileşen? “When is the particle farthest east” diye soruluyorsa $v_x = 0$. “Highest point” diye soruluyorsa $v_y = 0$. Bu durumda diğer bileşen sıfır değildir, yani cisim durmaz.

Hareketlerin bağımsızlığı

Galileo’nun gözlemi: yatay hızı olan bir cisim ile aynı anda bırakılan bir cisim yere aynı anda düşer. Dikey hareket yatay hızdan etkilenmez. Matematiksel karşılığı, $x$ ve $y$ denklemlerinin ayrı ayrı çözülebilmesi.

Problem çözme yöntemi:

1. Eksen ve orijin seç, pozitif yönleri belirle.
2. $\vec v_0$ ve $\vec a$‘yı bileşenlerine ayır.
3. Ortak bilinmeyeni (genelde $t$) bir eksenden bul.
4. O $t$‘yi diğer eksenin denklemine koy.
5. Sonucu vektör olarak birleştir: büyüklük ve yön.

Sık yapılan hatalar