MAT1041 · 14. hafta · - Symmetric Matrices and Orthogonal Diagonalization

Simetrik matrisler ve ortogonal köşegenleştirme

Ortogonal matrisleri (Pᵀ = P⁻¹), simetrik matrislerin özel özelliklerini (reel özdeğerler, dik özuzaylar, her zaman köşegenleşme) ve bir simetrik matrisi PᵀAP = D olacak şekilde ortogonal bir P ile köşegenleştirmeyi, tekrarlı özdeğerde Gram-Schmidt kullanmayı öğrenirsin.

symmetric matrixorthogonal matrixorthonormal setorthogonal vectorsnormalizeorthogonally diagonalizablespectral theoremGram-Schmidt processquadratic formprincipal axes

Dönemin son konusu, simetrik matrislerin ne kadar “iyi huylu” olduğunu gösteriyor. Genel bir matris köşegenleşmeyebilir, reel özdeğeri olmayabilir, özvektörleri birbirine eğik durabilir. Simetrik matriste bunların hiçbiri olmaz: özdeğerler reel, farklı özdeğerlerin özvektörleri dik, ve matris her zaman köşegenleşir. Üstelik $P$ öyle seçilebilir ki sütunları birbirine dik birim vektörler olur; o zaman $P^{-1}$ hesaplamaya bile gerek kalmaz, $P^{-1} = P^T$ . Bu sonuca spektral teorem denir ve istatistikten (PCA) fiziğe kadar her yerde kullanılır.

Altın kurallar:

Ortogonal matris: sütunlar birim uzunlukta ve ikişer ikişer dik. Tersi transpozu.
Simetrik matriste farklı özdeğerlerin özvektörleri otomatik dik.
Tekrarlı özdeğerin özuzayında Gram-Schmidt uygula.
En sonda her vektörü normalize et. Unutulan adım bu.

Ortogonal vektörler ve ortogonal matrisler

haftadan: $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0$ ise $\mathbf{u}$ ve $\mathbf{v}$ diktir (orthogonal). Bir küme ikişer ikişer dik vektörlerden oluşuyorsa ortogonal küme, ayrıca hepsi birim uzunluktaysa ortonormal kümedir. Sıfır içermeyen ortogonal küme her zaman lineer bağımsızdır.

Kare $Q$ matrisi $Q^TQ = I$ sağlıyorsa ortogonal matristir (orthogonal matrix). $Q^TQ$ ‘nun $(i, j)$ elemanı $i$ . sütun ile $j$ . sütunun iç çarpımı olduğu için:

$Q^TQ = I \iff \text{sütunlar ortonormal} \iff Q^{-1} = Q^T.$

Örnek	Ortogonal mi?
$\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$ (dönme)	evet, $\det = 1$
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ (yansıma)	evet, $\det = -1$
$\begin{bmatrix} 3/5 & -4/5 \\ 4/5 & 3/5 \end{bmatrix}$	evet (Q5)
$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$	hayır: sütunlar dik ama uzunluk $\sqrt2$

Son satır klasik tuzak: dik sütunlar yetmez, birim de olmalı. $\frac{1}{\sqrt2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ ortogonaldir.

Ortogonal matrisler uzunluğu ve açıyı korur: $\|Q\mathbf{x}\| = \|\mathbf{x}\|$ , çünkü $\|Q\mathbf{x}\|^2 = \mathbf{x}^TQ^TQ\mathbf{x} = \mathbf{x}^T\mathbf{x}$ . Geometrik olarak sadece dönmeler ve yansımalar.

Simetrik matrislerin üç özelliği

$A$ reel ve simetrik ( $A^T = A$ ) ise:

Bütün özdeğerleri reeldir.
Farklı özdeğerlere ait özvektörler diktir. İspat: $A\mathbf{u} = \lambda\mathbf{u}$ , $A\mathbf{v} = \mu\mathbf{v}$ , $\lambda \neq \mu$ . $\lambda(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) = (A\mathbf{u})^T\mathbf{v} = \mathbf{u}^TA^T\mathbf{v} = \mathbf{u}^TA\mathbf{v} = \mu(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})$ . $(\lambda - \mu)(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) = 0$ , yani $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0$ . ( $A^T = A$ tam olarak burada kullanıldı.)
Her özdeğer için geometrik katlılık = cebirsel katlılık. Sonuç: her zaman köşegenleşir.

Spektral teorem. $A$ $n \times n$ reel bir matris olsun. Şu iki ifade denktir:

$A$ simetrik.
$P^TAP = D$ olacak şekilde ortogonal bir $P$ ve köşegen bir $D$ vardır (ortogonal köşegenleşme).

Yani “ortogonal köşegenleşir mi?” sorusunun cevabı tek bakışta: matris simetrik mi?

Ortogonal köşegenleştirme tarifi

Karakteristik denklemi çöz.
Her özdeğer için özuzayın bir bazını bul.
Bir özuzay 2 veya daha fazla boyutluysa, bazına Gram-Schmidt uygulayıp ortogonal yap. (Tek boyutlu özuzaylar ve farklı özuzaylar arası diklik zaten bedava.)
Her vektörü normalize et: $\mathbf{v}/\|\mathbf{v}\|$ .
$P$ ‘nin sütunları bu ortonormal vektörler, $D$ ‘de aynı sırayla özdeğerler. $A = PDP^T$ .

Gram-Schmidt (iki vektör). $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\}$ bağımsızsa

$\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1, \qquad \mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 - \frac{\mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{u}_1}{\mathbf{u}_1 \cdot \mathbf{u}_1}\mathbf{u}_1.$

$\mathbf{u}_2$ , $\mathbf{v}_2$ ‘den $\mathbf{u}_1$ yönündeki bileşeni çıkarır; kalan dik parça. Üç vektörde $\mathbf{u}_3$ ‘ten hem $\mathbf{u}_1$ hem $\mathbf{u}_2$ bileşenleri çıkarılır.

Örnek 1 (2×2). $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ . İz 6, det 8: $\lambda^2 - 6\lambda + 8 = (\lambda - 4)(\lambda - 2)$ .

$\lambda = 4: (1, 1), \qquad \lambda = 2: (1, -1), \qquad P = \frac{1}{\sqrt2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}.$

Özvektörler kendiliğinden dik çıktı; tek iş normalize etmekti.

Örnek 2 (3×3, tekrarlı özdeğer). $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ .

Karakteristik polinom $\lambda^3 - 6\lambda^2 + 9\lambda - 4 = (\lambda - 1)^2(\lambda - 4)$ . Kontrol: iz $6 = 1 + 1 + 4$ .

$\lambda = 4$ : $A - 4I$ ‘nın satırları $(-2, 1, 1), (1, -2, 1), (1, 1, -2)$ ; çözüm $x = y = z$ : $(1, 1, 1)$ .
$\lambda = 1$ : $A - I$ ‘nın bütün satırları $(1, 1, 1)$ : tek denklem $x + y + z = 0$ . Baz $\mathbf{v}_1 = (-1, 1, 0)$ , $\mathbf{v}_2 = (-1, 0, 1)$ . Bunlar dik değil ( $\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2 = 1$ ).

Gram-Schmidt (özuzay içinde):

u1 = (-1, 1, 0)
v2·u1 = 1 + 0 + 0 = 1,   u1·u1 = 2
u2 = (-1, 0, 1) - (1/2)(-1, 1, 0) = (-1/2, -1/2, 1)   → 2 ile çarp: (-1, -1, 2)
kontrol: u1·u2 = 1 - 1 + 0 = 0;  A u2 = (-2-1+2, -1-2+2, -1-1+4) = (-1, -1, 2) = 1·u2

$(1, 1, 1)$ ikisine de zaten dik (farklı özdeğer). Normalize: uzunluklar $\sqrt2$ , $\sqrt6$ , $\sqrt3$ .

$P = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt2} & -\frac{1}{\sqrt6} & \frac{1}{\sqrt3} \\ \frac{1}{\sqrt2} & -\frac{1}{\sqrt6} & \frac{1}{\sqrt3} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt6} & \frac{1}{\sqrt3} \end{bmatrix}, \qquad D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}.$

TUZAK · tekrarlı özdeğerde Gram-Schmidt’i atlamak. Aynı özuzaydan gelen iki özvektör dik olmak zorunda değil. Örnek 2’de $(-1, 1, 0)$ ve $(-1, 0, 1)$ ikisi de doğru özvektör ama aralarındaki açı $60^\circ$ . Bunları direkt normalize edip $P$ ‘ye koyarsan $P^TP \neq I$ olur.

İPUCU · kontrol. $P^TP = I$ ‘yı kontrol etmek için her sütun çiftinin iç çarpımına bak (0 olmalı) ve her sütunun uzunluğuna (1 olmalı). $P^TAP$ ‘yi tamamen çarpmaktan çok daha kısa.

Uygulama: kuadratik formlar

$Q(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2$ ifadesi bir kuadratik formdur ve simetrik bir matrisle yazılır:

$Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^TA\mathbf{x}, \qquad A = \begin{bmatrix} a & b/2 \\ b/2 & c \end{bmatrix}.$

$A = PDP^T$ ise $\mathbf{x} = P\mathbf{y}$ değişkeniyle $Q = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2$ olur: çapraz terim yok. $P$ ‘nin sütunları asal eksenlerdir (principal axes). Q11’de $3x^2 + 4xy + 3y^2 = 5x'^2 + y'^2$ ; $(1, 1)$ ve $(-1, 1)$ doğrultuları elipsin eksenleri. Özdeğerlerin işaretleri formun hep pozitif olup olmadığını (pozitif tanımlı) söyler.

Dönem özeti: köşegenleşme hiyerarşisi

Matris türü	Köşegenleşir mi?	$P$
Genel kare matris	bazen ( $n$ bağımsız özvektör varsa)	tersinir
$n$ farklı özdeğer	her zaman	tersinir
Simetrik	her zaman	ortogonal ( $P^{-1} = P^T$ )

Sık yapılan hatalar

Yanlış	Doğrusu
Dik sütunlu matrisi ortogonal saymak	Sütunlar birim de olmalı
Normalize etmeyi unutmak	Her sütunu kendi uzunluğuna böl
Tekrarlı özdeğerin özvektörlerini olduğu gibi kullanmak	Önce Gram-Schmidt
Farklı özuzaylar arasında Gram-Schmidt yapmak	Gerek yok, zaten dikler
$A = PDP^{-1}$ yazıp $P^{-1}$ hesaplamak	$P^{-1} = P^T$
Kuadratik formda $xy$ katsayısını köşegen dışına aynen yazmak	Yarısı: $b/2$
Simetrik olmayan matrisi ortogonal köşegenleştirmeye çalışmak	Sadece simetrikler
$\det Q$ her zaman 1	$\pm1$

Kendini test et

Sınavdaki gibi İngilizce sorular. Önce kâğıt kalemle çöz, sonra cevabı aç.

Soru 1kolay

Which of the matrices $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ and $Q = \frac{1}{\sqrt2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$ is orthogonal?

Cevabı göster

Only

Q

Ortogonal: $Q^TQ = I$ , yani sütunlar birim uzunlukta ve birbirine dik. $Q$ : sütunlar $\frac{1}{\sqrt2}(1, -1)$ ve $\frac{1}{\sqrt2}(1, 1)$ , iç çarpım $\frac12(1 - 1) = 0$ , uzunluklar 1. $A$ : $A^TA = \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} \neq I$ . Simetrik olmak ortogonal olmak değil.

Soru 2kolay

Find the eigenvalues of the symmetric matrix $A = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$ .

Cevabı göster

6

and

1

İz 7, det $10 - 4 = 6$ : $\lambda^2 - 7\lambda + 6 = (\lambda - 6)(\lambda - 1)$ .
Simetrik olduğu için reel olacakları baştan belliydi.

Soru 3orta

Orthogonally diagonalize $A = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$ : find an orthogonal $P$ and diagonal $D$ with $P^TAP = D$ .

Cevabı göster

P = \frac{1}{\sqrt5}\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix},\ D = \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

$\lambda = 6$ : $A - 6I = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}$ , $x = 2y$ : $(2, 1)$ . $\lambda = 1$ : $A - I = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ , $2x + y = 0$ : $(1, -2)$ .
İkisi dik: $2 - 2 = 0$ . İkisinin de uzunluğu $\sqrt5$ ; normalize edip sütun yap.

Soru 4kolay

Find $k$ such that $(1, k, 2)$ and $(3, 1, -1)$ are orthogonal.

Cevabı göster

k = -1

Dik $\iff$ iç çarpım 0: $3 + k - 2 = 0$ , $k = -1$ .

Soru 5orta

Find the inverse of $Q = \begin{bmatrix} 3/5 & -4/5 \\ 4/5 & 3/5 \end{bmatrix}$ .

Cevabı göster

\begin{bmatrix} 3/5 & 4/5 \\ -4/5 & 3/5 \end{bmatrix}

Sütunlar $(3/5, 4/5)$ ve $(-4/5, 3/5)$ : uzunluklar $\frac{9 + 16}{25} = 1$ , iç çarpım $-\frac{12}{25} + \frac{12}{25} = 0$ . $Q$ ortogonal.
Ortogonal matrisin tersi transpozudur: $Q^{-1} = Q^T$ . Hesap yok.

Soru 6orta

True or false: Every real symmetric matrix is diagonalizable.

Cevabı göster

True

Spektral teorem: reel simetrik matrisin özdeğerleri reeldir ve her özdeğer için geometrik katlılık cebirsel katlılığa eşittir. Hatta ortogonal bir $P$ ile köşegenleşir.
Simetrik olmayan $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ köşegenleşmiyordu; simetrikte bu olamaz.

Soru 7zor

$A$ is a $3 \times 3$ symmetric matrix. $(1, 2, -1)$ is an eigenvector for $\lambda = 3$ and $(2, a, 4)$ is an eigenvector for $\lambda = -1$ . Find $a$ .

Cevabı göster

a = 1

Simetrik matriste farklı özdeğerlerin özvektörleri diktir. $(1, 2, -1) \cdot (2, a, 4) = 2 + 2a - 4 = 0 \Rightarrow a = 1$ .

Soru 8zor

Orthogonally diagonalize $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ .

Cevabı göster

P = \begin{bmatrix} 1/\sqrt2 & 0 & 1/\sqrt2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/\sqrt2 & 0 & -1/\sqrt2 \end{bmatrix},\ D = \operatorname{diag}(3, 3, -1)

Özdeğerler $3, 3, -1$ ( $(\lambda - 3)^2(\lambda + 1)$ ). $\lambda = 3$ : $A - 3I = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \end{bmatrix}$ , $x = z$ , $y$ serbest: $(1, 0, 1)$ ve $(0, 1, 0)$ . Bunlar zaten dik, Gram-Schmidt gerekmez. $\lambda = -1$ : $A + I = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ , $y = 0$ , $x = -z$ : $(1, 0, -1)$ .
Normalize: $(1, 0, 1)/\sqrt2$ , $(0, 1, 0)$ , $(1, 0, -1)/\sqrt2$ .

Soru 9orta

What are the possible values of $\det Q$ for an orthogonal matrix $Q$ ?

Cevabı göster

1

-1

$Q^TQ = I \Rightarrow \det Q^T\det Q = 1 \Rightarrow (\det Q)^2 = 1$ .
Dönmeler $+1$ (Q5'teki matris), yansımalar $-1$ ( $\operatorname{diag}(1, -1)$ ).

Soru 10zor

Apply the Gram-Schmidt process to $\{(1, 1, 0), (1, 0, 1)\}$ to get an orthogonal basis of their span.

Cevabı göster

\{(1, 1, 0),\ (1, -1, 2)\}

$\mathbf{u}_1 = (1, 1, 0)$ . $\mathbf{u}_2 = (1, 0, 1) - \frac{(1, 0, 1) \cdot \mathbf{u}_1}{\mathbf{u}_1 \cdot \mathbf{u}_1}\mathbf{u}_1 = (1, 0, 1) - \frac12(1, 1, 0) = \left(\tfrac12, -\tfrac12, 1\right)$ .
2 ile çarp (diklik bozulmaz): $(1, -1, 2)$ . Kontrol: $1 - 1 + 0 = 0$ .

Soru 11zor

Write the quadratic form $Q(x, y) = 3x^2 + 4xy + 3y^2$ as $\mathbf{x}^TA\mathbf{x}$ with $A$ symmetric, and find the eigenvalues of $A$ .

Cevabı göster

A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}

; eigenvalues

5

and

1

Köşegen: $x^2$ ve $y^2$ katsayıları. $xy$ katsayısı 4, iki köşegen dışı elemana yarı yarıya: 2 ve 2.
Özdeğerler: iz 6, det 5, $\lambda^2 - 6\lambda + 5$ : $5$ ( $(1, 1)$ yönü) ve $1$ ( $(-1, 1)$ yönü).
Yeni eksenlerde $Q = 5x'^2 + y'^2$ : çapraz terim yok olur.

Doğrulama: Özdeğerler ve özuzaylar node'da BigInt kesirlerle karakteristik polinom kökleri ve tam null space ile bulundu; karekök içeren normalizasyonlardan kaçınmak için ölçeksiz sütun matrisi S ile SᵀS = diag(‖vᵢ‖²) (diklik) ve SᵀAS = diag(‖vᵢ‖²λᵢ) (köşegenleşme) tam olarak kontrol edildi; Gram-Schmidt adımları ve iç çarpımlar tam kesirlerle hesaplandı (verify/MAT1041/14.mjs).

Deftere not kartı

Simetrik: A^T = A. ORTOGONAL MATRİS: Q^T Q = I ⇔ Q⁻¹ = Q^T ⇔ sütunlar ORTONORMAL (birim + dik). det Q = ±1. Uzunluk ve açıyı korur: ||Qx|| = ||x||. SİMETRİK MATRİS (spektral teorem): (1) özdeğerler REEL (2) farklı özdeğerlerin özvektörleri DİK (3) HER ZAMAN köşegenleşir, hem de ORTOGONAL P ile: P^T A P = D. Tersi de doğru: ortogonal köşegenleşen matris simetriktir. TARİF: özdeğerler → her E_λ bazı → (tekrarlı λ'da) Gram-Schmidt → NORMALİZE → P'nin sütunları. Gram-Schmidt: u1 = v1; u2 = v2 - (v2·u1)/(u1·u1) u1. Ölçeklemek serbest. Farklı özuzaylardaki vektörler zaten dik; GS sadece AYNI özuzay içinde. Normalize: v/||v||. UNUTMA: normalize edilmemiş P ortogonal değil. A = PDP^T (P⁻¹ yerine P^T). Kuadratik form ax² + bxy + cy² → A = [a b/2; b/2 c]; özvektörler = asal eksenler.