MAT1041 · 13. hafta · - Eigenvalues and Eigenvectors

Özdeğerler ve özvektörler

Karakteristik denklemi kurup özdeğerleri bulmayı, her özdeğer için özuzayın bazını hesaplamayı, cebirsel ve geometrik katlılığı ayırt etmeyi ve iz, determinant, kuvvet ve ters ile özdeğerler arasındaki kısayolları öğrenirsin.

eigenvalueeigenvectorcharacteristic polynomialcharacteristic equationeigenspacealgebraic multiplicitygeometric multiplicitytriangular matrixtracedeterminant

Bir matris bir vektörü çarptığında genelde onu hem döndürür hem uzatır. Ama bazı özel vektörler vardır ki matris onları döndürmez, sadece bir sayıyla çarpar. Bunlar özvektörlerdir (eigenvector), çarpan da özdeğer (eigenvalue). Bu hafta onları bulmayı öğreniyoruz; bir sonraki sayfada, yeterince özvektör varsa matrisi köşegen hale getireceğiz. Hesap tarafı tamamen tanıdık: determinant (hafta 4-5) ve null space (hafta 9).

Altın kurallar:

Önce özdeğer: $\det(\lambda I - A) = 0$ .
Sonra her özdeğer için özuzay: $(A - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ ‘ı çöz.
$A - \lambda I$ tekil çıkmalı. Sıfır satır yoksa özdeğeri yanlış bulmuşsundur.
Kontrol: özdeğerlerin toplamı iz, çarpımı determinant.

Tanım

$A$ $n \times n$ olsun. Sıfır olmayan bir $\mathbf{v}$ ve bir $\lambda$ sayısı için

$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$

ise $\lambda$ , $A$ ‘nın bir özdeğeri, $\mathbf{v}$ de $\lambda$ ‘ya karşılık gelen bir özvektörüdür.

$\mathbf{v} = \mathbf{0}$ hiçbir zaman özvektör sayılmaz (her $\lambda$ için $A\mathbf{0} = \lambda\mathbf{0}$ , anlamsız olurdu).
$\lambda = 0$ ise özdeğer olabilir: $A\mathbf{v} = \mathbf{0}$ demek.
$\mathbf{v}$ özvektörse her $c\mathbf{v}$ ( $c \neq 0$ ) de özvektördür. Özvektörler tek değil, bir doğru (ya da altuzay) boyunca gelir.

Geometri. $A\mathbf{v}$ , $\mathbf{v}$ ile aynı doğru üzerinde. $\lambda > 1$ ise uzatma, $0 < \lambda < 1$ ise kısaltma, $\lambda < 0$ ise yön çevirme. Düzlemde $x$ -eksenine izdüşüm için $\mathbf{e}_1$ özdeğer 1, $\mathbf{e}_2$ özdeğer 0’a karşılık gelir.

Karakteristik denklem

$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} \iff (\lambda I - A)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ . Sıfır olmayan çözüm olması için $\lambda I - A$ tekil olmalı:

$\det(\lambda I - A) = 0.$

Sol taraf $\lambda$ ‘da $n$ . dereceden bir polinomdur: karakteristik polinom. Kökleri tam olarak özdeğerlerdir. ( $\det(A - \lambda I)$ kullanmak da aynı kökleri verir; sadece $n$ tekse işaret farklıdır.)

Örnek 1. $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ .

$\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda - 2 & -3 \\ -2 & \lambda - 1 \end{vmatrix} = (\lambda - 2)(\lambda - 1) - 6 = \lambda^2 - 3\lambda - 4 = (\lambda - 4)(\lambda + 1).$

Özdeğerler $4$ ve $-1$ . $2 \times 2$ kısayolu: $\lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\lambda + \det A$ , burada iz 3, det $2 - 6 = -4$ .

Özuzay

Bir $\lambda$ için bütün özvektörler artı $\mathbf{0}$ , $A - \lambda I$ ‘nın null space’idir. Buna $\lambda$ ‘nın özuzayı (eigenspace) $E_\lambda$ denir; bir altuzaydır.

Örnek 1 devam:

$\lambda = 4: \quad A - 4I = \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 2 & -3 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2 \leftarrow R_2 + R_1} \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow -2x + 3y = 0, \quad E_4 = \operatorname{span}\{(3, 2)\}.$

$\lambda = -1: \quad A + I = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2 \leftarrow R_2 - \frac23 R_1} \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow x + y = 0, \quad E_{-1} = \operatorname{span}\{(1, -1)\}.$

Kontrol: $A(3, 2)^T = (6 + 6, 6 + 2) = (12, 8) = 4(3, 2)$ . $A(1, -1)^T = (2 - 3, 2 - 1) = (-1, 1) = -1 \cdot (1, -1)$ .

TUZAK · tek çözüm çıkması. $(A - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ ‘ı çözünce sadece $\mathbf{x} = \mathbf{0}$ çıkıyorsa özdeğerde hesap hatası var. Gerçek bir özdeğerde $A - \lambda I$ her zaman tekildir ve en az bir sıfır satır oluşur. Bu hem bir uyarı hem de ücretsiz bir kontrol.

3×3 örnek ve katlılık

Örnek 2. $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & -2 \\ 2 & 3 & -2 \\ 2 & 2 & -1 \end{bmatrix}$ .

Karakteristik polinom (hesap uzun; ilk iki sütunda ortak yapıyı kullanmak ya da birinci satırdan açmak işe yarar): $\lambda^3 - 5\lambda^2 + 7\lambda - 3 = (\lambda - 1)^2(\lambda - 3)$ . Kontrol: iz $3 + 3 - 1 = 5 = 1 + 1 + 3$ , det $= 1 \cdot 1 \cdot 3 = 3$ .

$\lambda = 1: \quad A - I = \begin{bmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 2 & 2 & -2 \\ 2 & 2 & -2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}: \quad x = -y + z,$

$E_1 = \operatorname{span}\{(-1, 1, 0),\ (1, 0, 1)\} \quad (\text{boyut } 2).$

$\lambda = 3: \quad A - 3I = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -2 \\ 2 & 0 & -2 \\ 2 & 2 & -4 \end{bmatrix} \xrightarrow[R_1 \leftarrow \frac12R_1,\ R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1]{R_1 \leftrightarrow R_3} \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & -2 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 + R_2} \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$y = z$ , $x = -y + 2z = z$ : $E_3 = \operatorname{span}\{(1, 1, 1)\}$ .

İki katlılık:

	Tanım	Örnek 2’de $\lambda = 1$	Q7’de $\lambda = 2$
Cebirsel (algebraic)	karakteristik polinomda kökün katı	2	2
Geometrik (geometric)	$\dim E_\lambda$	2	1

Her zaman $1 \le \text{geometrik} \le \text{cebirsel}$ . İkisinin eşit olup olmaması köşegenleştirmenin anahtarı (sonraki sayfa).

Kısayollar

$A$ ‘nın özdeğerleri $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ (katlılıklarıyla) ise:

Bilgi	Sonuç
$\lambda_1 + \dots + \lambda_n$	$\operatorname{tr}A$
$\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$	$\det A$
$A$ üçgen	özdeğerler köşegende
$0$ özdeğer	$A$ tekil
$A^k$	özdeğerler $\lambda^k$ , aynı özvektörler
$A^{-1}$	$1/\lambda$ , aynı özvektörler
$A + cI$	$\lambda + c$
$A^T$	aynı özdeğerler (özvektörler farklı olabilir)

Tersinir matris teoremine bir madde daha: $A$ tersinir $\iff$ 0, $A$ ‘nın özdeğeri değil.

Reel özdeğer olmayabilir

$90^\circ$ dönme matrisi $\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ ‘in karakteristik polinomu $\lambda^2 + 1$ : reel kök yok. Bu derste genelde reel özdeğerlerle çalışırız; 14. haftada simetrik matrislerin özdeğerlerinin hep reel olduğunu göreceğiz.

Sık yapılan hatalar

Yanlış	Doğrusu
$\det(A - \lambda)$ yazmak	$\det(A - \lambda I)$ : $\lambda$ sadece köşegene
$\mathbf{v} = \mathbf{0}$ ‘ı özvektör saymak	Özvektör sıfırdan farklı olmalı
Karakteristik polinomu açıp çarpanları kaybetmek	Ortak çarpanı koru, $(\lambda - 3)$ ‘ü dışarı al
Özuzayı $A$ ‘nın null space’i sanmak	$A - \lambda I$ ‘nın null space’i
Özuzay bazında tek vektör yazıp ikinci serbest değişkeni unutmak	Serbest değişken sayısı kadar vektör
Satır işleminin özdeğerleri koruduğunu sanmak	Satır işlemi özdeğerleri değiştirir; $A$ ‘yı önce indirgeme
Cebirsel ile geometrik katlılığı eşit varsaymak	Hesapla; Q7’de farklı

Kendini test et

Sınavdaki gibi İngilizce sorular. Önce kâğıt kalemle çöz, sonra cevabı aç.

Soru 1kolay

Show that $\mathbf{v} = (1, 1)$ is an eigenvector of $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$ and find the corresponding eigenvalue.

Cevabı göster

\lambda = 4

$A\mathbf{v} = (3 + 1,\ 2 + 2) = (4, 4) = 4(1, 1)$ . Yani $A\mathbf{v} = 4\mathbf{v}$ , $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ : özvektör, özdeğer 4.

Soru 2kolay

Find the eigenvalues of $\begin{bmatrix} 2 & 5 & -1 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix}$ .

Cevabı göster

2,\ -3,\ 7

Üçgen matris: $\lambda I - A$ da üçgen, determinantı köşegen çarpımı $(\lambda - 2)(\lambda + 3)(\lambda - 7)$ .
Üçgen matrisin özdeğerleri köşegen elemanlarıdır.

Soru 3orta

Find the characteristic polynomial and the eigenvalues of $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ .

Cevabı göster

\lambda^2 - 4\lambda - 5

;

\lambda = 5, -1

$\det(\lambda I - A) = (\lambda - 1)(\lambda - 3) - 8 = \lambda^2 - 4\lambda - 5 = (\lambda - 5)(\lambda + 1)$ .
Kısayol ( $2 \times 2$ ): $\lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\lambda + \det A$ ; iz 4, det $3 - 8 = -5$ .

Soru 4orta

For $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ , find a basis for each eigenspace.

Cevabı göster

E_5

\{(1, 1)\}

;

E_{-1}

\{(-2, 1)\}

$\lambda = 5$ : $A - 5I = \begin{bmatrix} -4 & 4 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}$ , satırlar orantılı, $x = y$ : $(1, 1)$ . $\lambda = -1$ : $A + I = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ , $x + 2y = 0$ : $(-2, 1)$ .
Kontrol: $A(-2, 1)^T = (-2 + 4, -4 + 3) = (2, -1) = -1 \cdot (-2, 1)$ .

Soru 5orta

Find the eigenvalues of $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ . What does one of them tell you about the matrix?

Cevabı göster

0

and

5

; the matrix is singular

İz 5, det $4 - 4 = 0$ : $\lambda^2 - 5\lambda = \lambda(\lambda - 5)$ . $\lambda = 0$ özdeğer $\iff A\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 'ın sıfır olmayan çözümü var $\iff$ $A$ tekil.

Soru 6orta

Find the eigenvalues of $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ with their algebraic multiplicities.

Cevabı göster

\lambda = 3

(multiplicity 2),

\lambda = -1

(multiplicity 1)

$\det(\lambda I - A)$ 'yı 2. satırdan aç (tek eleman $\lambda - 3$ ): $(\lambda - 3)\left[(\lambda - 1)^2 - 4\right]$ . $(\lambda - 1)^2 - 4 = (\lambda - 3)(\lambda + 1)$ . Toplam: $(\lambda - 3)^2(\lambda + 1)$ .
Kontrol: özdeğerler toplamı $3 + 3 - 1 = 5 = \operatorname{tr}A$ .

Soru 7zor

For $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ , find the algebraic and geometric multiplicity of $\lambda = 2$ .

Cevabı göster

Algebraic 2, geometric 1

Üçgen: özdeğerler $2, 2, 3$ . Cebirsel katlılık 2. $A - 2I = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ : $y = 0$ , $z = 0$ , $x$ serbest. $E_2 = \operatorname{span}\{(1, 0, 0)\}$ , boyut 1.
Geometrik katlılık her zaman $\le$ cebirsel; burada küçük.

Soru 8orta

$\lambda = 3$ is an eigenvalue of an invertible matrix $A$ with eigenvector $\mathbf{v}$ . Find the corresponding eigenvalues of $A^2 - 2A + I$ and of $A^{-1}$ .

Cevabı göster

4

and

1/3

$A^2\mathbf{v} = 9\mathbf{v}$ , yani $(A^2 - 2A + I)\mathbf{v} = (9 - 6 + 1)\mathbf{v} = 4\mathbf{v}$ . $A\mathbf{v} = 3\mathbf{v}$ 'yi soldan $A^{-1}$ ile çarp: $\mathbf{v} = 3A^{-1}\mathbf{v}$ , $A^{-1}\mathbf{v} = \frac13\mathbf{v}$ .
Özvektör aynı kalıyor.

Soru 9orta

A $3 \times 3$ matrix $A$ has eigenvalues $1, 2, -3$ . Find $\det A$ and $\operatorname{tr}A$ .

Cevabı göster

\det A = -6

\operatorname{tr}A = 0

Determinant = özdeğerlerin çarpımı: $1 \cdot 2 \cdot (-3) = -6$ .
İz = özdeğerlerin toplamı: $1 + 2 - 3 = 0$ .

Soru 10zor

Does $A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ (rotation by $90^\circ$ ) have real eigenvalues?

Cevabı göster

No (the eigenvalues are

\pm i

)

$\det(\lambda I - A) = \lambda^2 + 1$ . Reel kökü yok.
Geometrik anlam: $90^\circ$ dönme hiçbir sıfır olmayan vektörü kendi doğrultusunda bırakmaz.

Soru 11zor

Find $k$ such that $\lambda = 4$ is an eigenvalue of $\begin{bmatrix} 2 & k \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ .

Cevabı göster

k = 2

$\lambda = 4$ özdeğer $\iff \det(A - 4I) = 0$ . $\begin{vmatrix} -2 & k \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 2 - k = 0$ .
Kontrol $k = 2$ : iz 5, det $6 - 2 = 4$ , $\lambda^2 - 5\lambda + 4 = (\lambda - 1)(\lambda - 4)$ .

Doğrulama: Karakteristik polinomlar node'da Faddeev-LeVerrier yöntemiyle BigInt kesirlerle tam hesaplandı, kökleri rasyonel kök taramasıyla katlılıklarıyla bulundu; her özuzay bazı (A − λI)'nın tam null space'i olarak çıkarıldı ve Av = λv eşitliği her özvektör için çarpılarak kontrol edildi (verify/MAT1041/13.mjs).

Deftere not kartı

Av = λv, v ≠ 0 → λ özdeğer, v özvektör. (v = 0 özvektör SAYILMAZ; λ = 0 olabilir.) Karakteristik denklem: det(λI - A) = 0 (ya da det(A - λI) = 0, aynı kökler). 2×2 kısayol: λ² - (tr A)λ + det A = 0. Üçgen/köşegen → özdeğerler köşegende. Özuzay E_λ = null(A - λI): (A - λI)x = 0 çöz, serbest değişkenlerle baz yaz. (A - λI) TEKİL olmalı; tek çözüm çıkıyorsa λ'yı yanlış bulmuşsun. Cebirsel katlılık = kökün katı. Geometrik = dim E_λ. 1 ≤ geom ≤ cebirsel. Σλ = tr A, Πλ = det A. λ = 0 özdeğer ⇔ A tekil. A^k → λ^k; A⁻¹ → 1/λ; A + cI → λ + c; p(A) → p(λ). Özvektör AYNI. A ve A^T aynı özdeğerler. Benzer matrisler aynı özdeğerler. Reel kök olmayabilir (dönme: λ² + 1). 3×3'te det(λI - A)'yı en çok sıfır olan satırdan aç, çarpanı koru.