MAT1041 · 11. hafta · - The Kernel and Range of a Linear Transformation

Lineer dönüşümün çekirdeği (kernel) ve görüntüsü (range)

Bir lineer dönüşümün çekirdeğini ve görüntüsünü bulmayı, bunların baz ve boyutlarını (nullity, rank) hesaplamayı, boyut teoremini ve dönüşümün birebir (one-to-one), örten (onto) ya da izomorfizm olup olmadığını test etmeyi öğrenirsin.

kernelrange (image)rank of a transformationnullity of a transformationdimension theorem (rank-nullity)one-to-one (injective)onto (surjective)isomorphismisomorphic spaces

Geçen hafta bir lineer dönüşümün ne yaptığına baktık. Bu hafta iki soruyu soruyoruz: Neyi kaybediyor? ve Nereye ulaşabiliyor? Birincinin cevabı çekirdek (sıfıra giden her şey), ikincisinin cevabı görüntü (bütün çıktılar). Matris dönüşümlerinde bunlar 9. haftanın null space’i ve sütun uzayıdır; yani hesap tamamen tanıdık. Yeni olan dil: birebir, örten, izomorfizm ve bunları tek bir sayı denklemiyle bağlayan boyut teoremi.

Altın kurallar:

Çekirdek tanım kümesinde, görüntü değer kümesinde yaşar.
Matris dönüşümünde: çekirdek = null space, görüntü = sütun uzayı. Tek RREF ikisini de verir.
Boyut teoremi: rank + nullity = tanım kümesinin boyutu.
Birebir $\iff$ çekirdek $\{\mathbf{0}\}$ . Örten $\iff$ rank = değer kümesinin boyutu.

Tanımlar

$T : V \to W$ lineer olsun.

Çekirdek (kernel): $\ker T = \{\mathbf{v} \in V : T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}\}$ .
Görüntü (range): $\operatorname{range}T = \{T(\mathbf{v}) : \mathbf{v} \in V\}$ .

İkisi de altuzaydır. Çekirdek için: $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$ ; $T(\mathbf{u}) = T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}$ ise $T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = \mathbf{0}$ ve $T(c\mathbf{u}) = \mathbf{0}$ . Görüntü için: iki görüntünün toplamı $T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) = T(\mathbf{u} + \mathbf{v})$ yine bir görüntü.

Boyutlarına özel isimler verilir: $\operatorname{nullity}T = \dim\ker T$ , $\operatorname{rank}T = \dim\operatorname{range}T$ .

Matris dönüşümünde hesap

Örnek. $T : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ , $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$ , $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 \\ 2 & 4 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ .

$A \xrightarrow{R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 - R_2} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

Bu zaten RREF (pivotlar 1. ve 3. sütunda, pivot üstleri 0).

Çekirdek. $x_1 + 2x_2 - x_4 = 0$ , $x_3 + 3x_4 = 0$ . $x_2 = s$ , $x_4 = t$ :

$\mathbf{x} = s(-2, 1, 0, 0) + t(1, 0, -3, 1), \qquad \ker T \text{ bazı: } \{(-2, 1, 0, 0),\ (1, 0, -3, 1)\}, \quad \operatorname{nullity}T = 2.$

Görüntü. Pivot sütunlarının orijinalleri:

$\operatorname{range}T \text{ bazı: } \{(1, 2, 0),\ (0, 1, 1)\}, \qquad \operatorname{rank}T = 2.$

Görüntü $\mathbb{R}^3$ ‘te bir düzlem. Denklemi: $[A \mid \mathbf{b}]$ ‘yi aynı işlemlerle indirince son satırın sağında $b_3 - b_2 + 2b_1$ kalır, yani görüntü $b_3 = b_2 - 2b_1$ . Örneğin $(1, 3, 1) = T(\ldots)$ ama $(1, 0, 0)$ görüntüde değil.

Kontrol: $2 + 2 = 4 = \dim\mathbb{R}^4$ .

Boyut teoremi

$V$ sonlu boyutlu, $T : V \to W$ lineer ise

$\operatorname{rank}T + \operatorname{nullity}T = \dim V.$

Sezgi: tanım kümesinin her boyutu ya çekirdekte “ezilir” ya da görüntüde “yaşar”. Matrisler için bu, 9. haftadaki rank-nullity teoreminin aynısı ( $n$ = sütun sayısı = $\dim V$ ).

Sınavda sıkça sadece sayılar verilir (Q4, Q5): bir boyut verildiyse diğeri teoremden çıkar.

Birebir, örten, izomorfizm

Kavram	Tanım	Test
Birebir (one-to-one)	$T(\mathbf{u}) = T(\mathbf{v}) \Rightarrow \mathbf{u} = \mathbf{v}$	$\ker T = \{\mathbf{0}\}$ , nullity 0
Örten (onto)	her $\mathbf{w} \in W$ bir görüntü	$\operatorname{rank}T = \dim W$
İzomorfizm (isomorphism)	birebir ve örten	ikisi birden

Neden birebir $\iff$ çekirdek sıfır? $T(\mathbf{u}) = T(\mathbf{v}) \iff T(\mathbf{u} - \mathbf{v}) = \mathbf{0} \iff \mathbf{u} - \mathbf{v} \in \ker T$ . Çekirdekte sadece $\mathbf{0}$ varsa $\mathbf{u} = \mathbf{v}$ .

Matris dönüşümü $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$ , $A$ $m \times n$ için:

	Koşul
Birebir	$\operatorname{rank}A = n$ (her sütunda pivot, sütunlar bağımsız)
Örten	$\operatorname{rank}A = m$ (her satırda pivot, sütunlar $\mathbb{R}^m$ ‘i gerer)
İzomorfizm	$m = n$ ve $\det A \neq 0$

Örnekte rank 2: $n = 4 \neq 2$ , birebir değil; $m = 3 \neq 2$ , örten değil.

İPUCU · boyutlar eşitse tek test yeter. $\dim V = \dim W = n$ ise boyut teoremi şunu söyler: nullity 0 $\iff$ rank $n$ . Yani birebir $\iff$ örten. Kare matriste tek bir determinant hesabı ikisine de cevap verir (Q7).

Boyut engelleri

$\dim V < \dim W$ : rank $\le \dim V < \dim W$ , örten olamaz ( $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4$ ).
$\dim V > \dim W$ : nullity $\ge \dim V - \dim W > 0$ , birebir olamaz ( $\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ ).

İzomorfik uzaylar

$V$ ‘den $W$ ‘ye bir izomorfizm varsa $V$ ile $W$ izomorfiktir: aynı yapı, farklı kıyafet. Teorem: sonlu boyutlu iki uzay izomorfiktir $\iff$ boyutları eşittir. Bu yüzden $P_3$ , $M_{2,2}$ ve $\mathbb{R}^4$ “aynı” uzaydır; polinom ve matris sorularını katsayı vektörlerine çevirip çözmemiz bu yüzden meşru.

Soyut uzaylarda çekirdek ve görüntü

Yöntem: koşulu katsayılarla yaz, denklemi çöz.

$D : P_3 \to P_2$ türev: çekirdek sabitler (nullity 1), rank $4 - 1 = 3$ , örten.
$T : M_{2,2} \to \mathbb{R}$ , $T(A) = \operatorname{tr}A$ : çekirdek izi sıfır matrisler (boyut 3), rank 1, örten.
$T(A) = A - A^T$ : çekirdek simetrik matrisler (boyut 3), görüntü ters simetrikler (boyut 1). Q8.

Sık yapılan hatalar

Yanlış	Doğrusu
Çekirdeği değer kümesinde aramak	Çekirdek $V$ ‘de: $T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}$ olan $\mathbf{v}$ ‘ler
Görüntü bazı olarak RREF sütunlarını yazmak	Orijinal pivot sütunlar
Boyut teoreminde $\dim W$ kullanmak	$\dim V$ (tanım kümesi)
“Örten” için nullity’ye bakmak	Rank’ı $\dim W$ ile karşılaştır
$\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ için birebirlik aramak	Boyut engeli: imkansız
$\ker T = \{\mathbf{0}\}$ ‘ın bazını $\{\mathbf{0}\}$ yazmak	Baz boş küme, boyut 0
Çekirdekte $\mathbf{0}$ var diye birebir demek	Çekirdek sadece $\mathbf{0}$ olmalı

Kendini test et

Sınavdaki gibi İngilizce sorular. Önce kâğıt kalemle çöz, sonra cevabı aç.

Soru 1kolay

Find the kernel of $T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ , $T(x, y) = (x - y,\ 2x - 2y)$ .

Cevabı göster

\ker T = \operatorname{span}\{(1, 1)\}

$T(x, y) = (0, 0)$ : $x - y = 0$ ve $2x - 2y = 0$ , ikisi aynı denklem. $y = t$ , $x = t$ .
Çekirdek $y = x$ doğrusu. Nullity 1.

Soru 2orta

Let $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$ with $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & -3 & 4 \end{bmatrix}$ . Find a basis for $\ker T$ .

Cevabı göster

\{(-5, -2, 1)\}

$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$ : $(0, 1, 2)$ . $R_1 \leftarrow R_1 + 2R_2$ : $(1, 0, 5)$ . $x_1 = -5t$ , $x_2 = -2t$ , $x_3 = t$ . Kontrol: $A(-5, -2, 1)^T = (-5 + 4 + 1,\ -10 + 6 + 4) = (0, 0)$ .

Soru 3orta

For the same $T$ , find the range of $T$ . Is $T$ onto?

Cevabı göster

\operatorname{range}T = \mathbb{R}^2

; yes, onto

Rank = pivot sayısı = 2. Görüntü $\mathbb{R}^2$ 'nin 2 boyutlu altuzayı, yani $\mathbb{R}^2$ 'nin kendisi. Örten.
Boyut teoremi: $\operatorname{rank} + \operatorname{nullity} = 2 + 1 = 3 = \dim\mathbb{R}^3$ .

Soru 4orta

$T : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ is linear and $\operatorname{rank}T = 2$ . Find $\operatorname{nullity}T$ . Is $T$ one-to-one?

Cevabı göster

Nullity 2; not one-to-one

Boyut teoremi: $\operatorname{nullity} = \dim(\text{tanım kümesi}) - \operatorname{rank} = 4 - 2 = 2$ .
Çekirdek sıfırdan büyük, birebir değil.

Soru 5orta

$T : \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^3$ is linear with $\operatorname{nullity}T = 2$ . Is $T$ onto?

Cevabı göster

Yes

$\operatorname{rank} = 5 - 2 = 3 = \dim\mathbb{R}^3$ . Görüntü $\mathbb{R}^3$ 'ün 3 boyutlu altuzayı, yani tamamı. Örten.

Soru 6orta

Let $D : P_3 \to P_2$ , $D(p) = p'$ . Find $\ker D$ , $\operatorname{nullity}D$ and $\operatorname{rank}D$ .

Cevabı göster

\ker D

= constant polynomials; nullity 1, rank 3

$p' = 0 \iff p$ sabit. Çekirdek bazı $\{1\}$ , nullity 1. $\dim P_3 = 4$ , boyut teoremi: rank $= 4 - 1 = 3 = \dim P_2$ . Yani $D$ örten: her derecesi en fazla 2 polinom bir polinomun türevi.

Soru 7orta

Is $T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ , $T(x, y, z) = (x + y,\ y + z,\ x + z)$ an isomorphism?

Cevabı göster

Yes

Standart matris $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ , $\det = 1(1 - 0) - 1(0 - 1) + 0 = 2 \neq 0$ .
Kare ve tersinir: çekirdek $\{\mathbf{0}\}$ (birebir), görüntü $\mathbb{R}^3$ (örten). İzomorfizm.

Soru 8zor

Let $T : M_{2,2} \to M_{2,2}$ , $T(A) = A - A^T$ . Find $\dim\ker T$ and $\dim\operatorname{range}T$ .

Cevabı göster

\dim\ker T = 3

\dim\operatorname{range}T = 1

$T(A) = O \iff A = A^T$ : çekirdek simetrik matrisler, bazı $\left\{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\right\}$ , boyut 3.
Boyut teoremi: rank $= 4 - 3 = 1$ . Gerçekten $T\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = (b - c)\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ .

Soru 9zor

Let $T : P_2 \to \mathbb{R}$ , $T(p) = p(1)$ . Find a basis for $\ker T$ and determine whether $T$ is onto.

Cevabı göster

Basis

\{x - 1, x^2 - 1\}

; onto

$p = a + bx + cx^2$ , $p(1) = a + b + c = 0$ . $a = -b - c$ : $p = b(x - 1) + c(x^2 - 1)$ . Nullity 2.
Rank $= 3 - 2 = 1 = \dim\mathbb{R}$ : örten. (Sabit polinom $p = r$ her $r$ 'yi verir.)

Soru 10orta

True or false: There is a linear transformation from $\mathbb{R}^3$ onto $\mathbb{R}^4$ .

Cevabı göster

False

$\operatorname{rank}T \le \dim(\text{tanım kümesi}) = 3 < 4$ . Görüntü en fazla 3 boyutlu, $\mathbb{R}^4$ 'ü dolduramaz.
Genel: $\dim V < \dim W$ ise örten olamaz; $\dim V > \dim W$ ise birebir olamaz.

Soru 11zor

For which $k$ is $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$ one-to-one, where $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & k \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ ?

Cevabı göster

k \neq 6

Birebir $\iff$ çekirdek $\{\mathbf{0}\}$ $\iff$ sütunlar bağımsız. İki sütun bağımlıdır ancak ve ancak biri diğerinin katıysa. $(2, k, 4) = 2(1, 3, 2)$ ancak $k = 6$ iken. $k \neq 6$ : rank 2, birebir.

Soru 12orta

Let $T(x, y) = (x,\ y,\ x + y)$ . Is $\mathbf{w} = (1, 2, 3)$ in the range of $T$ ?

Cevabı göster

Yes,

\mathbf{w} = T(1, 2)

$T(x, y) = (1, 2, 3)$ : $x = 1$ , $y = 2$ , ve 3. bileşen $x + y = 3$ tutuyor. $(1, 2, 4)$ olsaydı tutmazdı: görüntü $z = x + y$ düzlemi.

Doğrulama: Çekirdek bazları node'da BigInt kesirlerle tam RREF'ten null space olarak, görüntü bazları pivot sütunlarından bulundu; görüntüye ait olma koşulu birçok w vektörü için tam çözümle, rank/nullity ve birebirlik parametreli soruda birçok k değeriyle kontrol edildi; M₂₂ ve P₂ dönüşümleri katsayı vektörleri üzerinden matrisle temsil edilerek hesaplandı (verify/MAT1041/11.mjs).

Deftere not kartı

ker T = {v : T(v) = 0} ⊆ V (TANIM kümesinde), altuzay. range T = {T(v)} ⊆ W (DEĞER kümesinde), altuzay. T(x) = Ax ise: ker T = null(A), range T = col(A). ker bazı: Ax = 0 çöz. range bazı: PİVOT SÜTUNLARIN ORİJİNALİ. nullity T = dim ker, rank T = dim range. BOYUT TEOREMİ: rank T + nullity T = dim V (tanım kümesi). Birebir (one-to-one) ⇔ ker T = {0} ⇔ nullity 0. Örten (onto) ⇔ range T = W ⇔ rank T = dim W. İzomorfizm = birebir + örten. dim V = dim W ⇔ izomorfik. dim V = dim W ise: birebir ⇔ örten (biri yeter). Kare A: det ≠ 0 ⇔ izomorfizm. dim V < dim W → örten olamaz; dim V > dim W → birebir olamaz. w ∈ range? → T(v) = w sistemini çöz. Türev P_n → P_{n-1}: ker = sabitler, örten.